Wykorzystaj twierdzenie o średnich
Kokosz: Wykaż, że jeśli a, b, c są liczbami dodatnimi oraz
a
2 + b*2 + c*2 + 2(a + b + c) = 42
to
a + b + c + 3 ≤
√125
Mam podpowiedź, żeby rozbić a + b + c + 3 na (a + 1) + (b + 1) + (c + 1)
No i próbowałem stworzyć porównania między średnimi kwadratowymi a arytmetycznymi:
| | a2+1 | | a+1 | |
1. √ |
| ≥ |
| /2 (bo obie strony dodatnie) |
| | 2 | | 2 | |
| | a2+1 | | a2+2a+1 | |
2. |
| ≥ |
| => 2(a2+1) ≥ a2+2a+1 |
| | 2 | | 4 | |
3. 2a
2 ≥ a
2+2a
Analogicznie robię z "b" i "c" i otrzymuję:
4. 2b
2 ≥ b
2+2b i 2c
2 ≥ c
2+2c
5. 2a
2 + 2b
2 + 2c
2 ≥ a
2 + 2a + b
2 + 2b + c
2 + 2c
6. 2(a
2 + b
2 + c
2) ≥ a
2 + b
2 + c
2 + 2(a +b +c)
7. 2(a
2 + b
2 + c
2) ≥ 42 I CO DALEJ?
8 paź 08:41
Kokosz: Oczywiście w pierwszym równaniu powinno być:
a2 + b2 + c2 + 2(a + b + c) = 42
8 paź 08:43
Kokosz: No i jeszcze błąd w pkt 3. Powinno być:
3. 2a
2 + 1 ≥ a
2 + 2a
4. 2b
2 + 1 ≥ b
2 + 2b i 2c
2 +1 ≥ c
2 + 2c
5. 2a
2 + 2b
2 + 2c
2 + 3 ≥ a
2 + 2a + b
2 + 2b + c
2 + 2c
6. 2(a
2 + b
2 + c
2) + 3 ≥ a
2 + b
2 + c
2 + 2(a + b + c)
7. 2(a
2 + b
2 + c
2) + 3 ≥ 42
8 paź 11:50
wredulus_pospolitus:
skorzystanie z nierówności pomiędzy średnimi to był dobry krok, ale lepiej patrzeć na całość.
| (a+1) + (b+1) + (c+1) | | (a+1)2 + (b+1)2 + (c+1)2 | |
| ≤ ( |
| )1/2 = (*) |
| 3 | | 3 | |
⇔ a+b+c+3 ≤ 3*
√3*
√5 =
√135 
zauważ, że jeżeli a=b=c to a=b=c=
√15 − 1
więc a+b+c + 3 = 3
√15 > √125
Sprawdź dokładnie treść zadania
8 paź 12:47
wredulus_pospolitus:
Ale ciągnąc to co masz:
8. a2+b2+c2 ≥ 19,5
9. 2(a+b+c) = 42 − (a2+b2+c2) ≤ 22,5 −−−> a+b+c +3 ≤ 14,25 co daje Ci 'słabsze'
ograniczenie.
8 paź 12:51
Kokosz: Jak kocham Milusia i Babę Jagę i Łamignata
− masz rację − powinno być:
a + b + c + 3 ≤
√135
8 paź 13:49
Kokosz: I wielkie dzięki za pomoc − przy porównaniach tych średnich to trzeba mieć czasem łeb jak
karton po margarynie − 6 na 9
8 paź 13:51