równania trygonometryczne egida: jak ja nie lubię równań trygonometrycznych.... jest sobie równanie cos(6x)=−cos(4x) i teraz tak... wolframalpha podaje 4 rozwiązania... symbolab podaje 4 rozwiązania... mi wyszły 2 (podobne jak w photomath) natomiast analizując wykresy funkcji w geogebrze stwierdzam z kolei że można zapisać jedno

	π		kπ
rozwiązanie:		+		...
	10		5

wredulus_pospolitus: Jakie 4 rozwiązania Jakie 2 rozwiązania Rozwiązań jest NIESKOŃCZENIE WIELE.

	π		kπ
Przecież wspomniane przez Ciebie 'rozwiązanie'		+		pokazuje NIESKOŃCZENIE
	10		5

WIELE rozwiązań. Druga sprawa −−− możliwe że jest to kwestia zapisu. Może rozwiązania wypluwane przez wolframa są za zasadzie: rozwiązania (nie są to rozwiązania DO TEGO RÓWNANIA):

	π		π
x =		+ 2kπ lub x = −		+ 2kπ
	2		2

	π
A Ty rozwiązując masz rozwiązania zapisane jako: x =		+ kπ
	2

I myślisz sobie −−− "hmmm, wolfram podaje DWA rozwiązania, a mi wyszło tylko JEDNO, co robię nie tak". Popatrz na to, przemyśl i dostrzeż gdzie jest błąd logiczny w takim oto rozumowaniu. Teraz wróć do tego co Ci wyszło, a co wolfiemu wyszło i porównaj.

wredulus_pospolitus: I teraz −−− wrzuciłem równanie do wolfiego i : 1. Wolfi wypluwa 5 a nie 4 typów różnych rozwiązań, w których jednym z nich jest x =

	π
		+ kπ
	2

	a		bxπ
2. Zastanów się jak chwilę ... zapisz typy rozwiązań wolfiego w postaci:		+		,
	10		10

swoje także w tej formie i porównaj ze sobą.

.: A jeszcze lepszym zwrotem byłoby nie mówienie 'typy rozwiązań' a 'RODZINA rozwiązań'

Mariusz: Jak ktoś lubi równania wielomianowe to można z wielomianów Czebyszowa skorzystać Wzór na wielomiany Czebyszowa można wyprowadzić na dwa sposoby 1. Wyprowadzając równanie rekurencyjne i rozwiązując je wykładniczą funkcją tworzącą 2. Wyprowadzając równanie różniczkowe i rozwiązując je szeregiem potęgowym Zatrzymałem się na obliczeniu pewnych sum Tutaj jc podał wzór na współczynniki wielomianu choć bez dowodu więc nie wiadomo czy podany przez niego wzór jest prawdziwy Można próbować też ortogonalizować bazę wielomianów następującym iloczynem skalarnym

	p(x)q(x)
<p(x),q(x)> = ∫−11		dx
	√1−x2

ale mnie nie doprowadziło to do wyniku Dla podanego n (tutaj n=6 oraz n=4) można próbować się pobawić ale będzie to wymagało dość sporo obliczeń

egida: @wredulus tak, wiem, że jest nieskończenie wiele rozwiązań, źle się wyraziłem ale nie rozumiem właśnie czemu wolfram zapisuje rozwiązania w ten sposób i jeżeli jest tak, że jeden "typ" rozwiązań "wchodzi" w drugi, to jak to odczytać?

	π
czyli jak po za tym jednym co podałem, drugi wychodzi		+kπ, to jak zauważyć właśnie, że
	2

ten drugi jakby "wchodzi" w ten pierwszy?

wredulus_pospolitus: Wolfi to program ... więc liczy według procedury. Jak wygląda procedura ... nie wiem i raczej nie chce wiedzieć. Wypluwane wyniki są prawidłowe ... widać, nie ma zakodowane u siebie aby tworzyć 'maksymalną rodzinę rozwiązań' jeżeli to możliwe, i tyle. Jedyny sposób na zauważenie, że parę rodzin rozwiązań możesz połączyć w jedną lub jakaś rodzina rozwiązań w pełni zawiera się w innej już wcześniej podanej, to po prostu je ze sobą porównać (patrz co napisałem o 22:52) Trygonometria ma to do siebie, że bardzo często można wyniki zapisać na różny sposób, ale tak naprawdę są one równoznaczne. W przyszłości (zapewne) będziesz mieć całki. Całki trygonometryczne bywają niezwykle 'paskudne' z tego względu, że w zależności jak się je będzie rozwiązywać, możesz mieć (na pierwszy rzut oka) ZUPEŁNIE inny wynik, ale jakby się później skorzystało ze wzorów trygonometrycznych to nagle okazuje się, że dwa (początkowo różnie wyglądające) wyniki reprezentują dokładnie tą samą rodzinę funkcji.

Shen Li : cos(6x)+cos(4x)=0

	cos10x		2x
2		*cos		=0
	2		2

cos5x=0 lub cosx=0 cos(5x)=0

	π
cos(5x)= cos		+2kπ k∊C
	2

	π
5x=		+kπ
	2

	π		kπ
x=		+
	10		5

cosx=0

	π
x=		+kπ k∊C
	2

wredulus_pospolitus: Shen Li: linijka

	π
cos(5x) = cos		+2kπ k∊C do przerobienia ... może wprowadzić w błąd (patrz później
	2

bierzesz kπ a nie 2kπ)

Shen Li : Znowu zjadłem 2

wredulus_pospolitus: nieee ... własnie '2' nie ma być

	π
cos(5x) = 0 −−−> 5x =		+ kπ
	2

Shen Li : Dobra . Nie myśle za bardzo dzisiaj . mam inny kłopot na głowie

egida: @wredulus_pospolitus tak, widziałem Twojego posta, ale przyznam, że zapisanie w tej postaci rozwiązań niewiele mi wyjaśniło... chyba nie wiem jak to interpretować.

	π		kπ		π
w swoich rozwiązaniach		+		i		+kπ zauważyłem natomiast, że jak wyłącze
	10		5		2

	1
przed nawias		w pierwszym, to w nawiasie będę miał to drugie
	5

czy z tego faktu też można jakoś wywnioskować "zawieranie się" w sobie tych rozwiązań?

chichi: narysuj sobie oś i wypisz sobie kilkanaście rozwiązań pierwszego i drugiego typu, a zauważysz, że jeden ze zbiorów rozwiązań jest podzbiorem drugiego, ale gdy podasz nawet na maturze oba rozwiązania ogólne, to nikt Cie za to nie bedzie scigal

wredulus_pospolitus:

	π		kπ		π		2kπ
x1 =		+		=		+
	10		5		10		10

	π		5π		10nπ		π		2(5n + 2)π
x2 =		+ nπ =		+		=		+
	2		10		10		10		10

wniosek ... dla k = 5n+2 zachodzi x₁ = x₂ jak w ten sam sposób zapiszesz rozwiązania z wolframa to zobaczysz że te 5 rodzin rozwiązań w sumie składają się na rodzinę rozwiązań zapisaną jako x₁

Mariusz: cos(6x) = −cos(4x) cos(6x) = cos(π − 4x) 6x = π − 4x + 2kπ ⋁ 6x = −(π − 4x + 2kπ) 10x = π + 2kπ ⋁ 6x = −π + 4x − 2kπ 10x = π + 2kπ ⋁ 2x = −π − 2kπ

	π		kπ
x =		+		⋁
	10		5

	π
x = −		−kπ
	2

	(1+2k)π
x =		⋁
	10

	(1+2k)π
x = −
	2