trójkat Dig2: Okrąg jest styczny do boków trójkąta ABC w punktach P, Q i R. Jeśli trójkąt utworzony przez P, Q i R jest podobny do trójkąta ABC, udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

PQR: 1/ z tw. o odcinkach stycznych trójkąty APR, BPQ,CQR są równoramienne to δ₁= α+β i δ₂=β+γ i δ₃= α+γ 2/ jeżeli Δ ABC ma być podobny do ΔPQR z cechy (kkk) to musi zachodzić odpowiednio równość kątów 2α=δ₁ i 2β=δ₂ i 2γ= δ₃ lub 2α= δ₂ i 2β= δ₁ i 2γ= δ₃ lub..... to mamy : α=β i β=γ i γ= α więc α= β= γ to i 2α=2β=2γ ⇒ 6α=180^o ⇒ 2α= 60^o= 2β=2γ co kończy dowód