wykaż Kaśka: Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest nierówność tg²α + ctg²α ≥ 2

Eta: Zamiast α , piszę x ( bo mi wygodniej)

sin2x		cos2x
	+		≥0 /* sin2x*cos2x
cos2x		sin2x

sin⁴x + cos⁴x ≥2 sin²x *cos²x sin⁴x −2sin²x *cos²x + cos⁴x ≥0 ( sin²x −cos²x)² ≥0 −−− ta nierówność zawsze prawdziwa co kończy dowód

Hannah: ale tam jest ≥2 a nie ≥0!

rumpek: tg²x + ctg²x ≥ 2

	1
ctgx =
	tgx

Z: tgx > 0

	1
tg2x +		≥ 2 / *tg2x
	tg2x

tg⁴x + 1 ≥ 2tg²x tg⁴x − 2tg²x + 1 ≥ 0 (tg²x − 1)² ≥ 0 c.n.u.

rumpek: Zauważ, że Eta napisała tę dwójkę w trzeciej linijce sin⁴x + cos⁴x ≥ 2sin²x * cos²x

Eta:

Basia: chyba widać, że w pierwszej linijce Eta chciała napisać 2, a nie 0 (zwykła literówka) bo skąd by wzięła potem po prawej 2sin²x*cos²x ? wystarczyło odrobinę pomyśleć a tu masz troszkę inaczej to samo zapisane (sin²x−cos²x)² ≥ 0 dla każdego x sin⁴x−2sin²xcos²x+cos⁴x ≥0 sin⁴x+cos⁴x ≥ 2sin²xcos²x /:sin²xcos²x (można bo istnieją tangens i cotangens, czyli sinx≠0 i cosx≠0)

sin4x		cos4x
	+		≥ 2
sin2xcos2x		sinxcos2x

sin2x		cos2x
	+		≥ 2
cos2x		sin2x

tg²x + ctg²x ≥ 2

Mila: a=tgx ⋀a>0

	1
czy a+		≥2 /*a
	a

a²+1≥2a a²−2a+1≥0⇔(a−1)²≥0 nierówność prawdziwa

Eta: No to jeszcze tak tg²α+ctg²α≥2 (tgα−ctgα)² +2tgα*ctgα−2≥0 (tgα−ctgα)² +2−2≥0 (tgα−ctgα)²≥0 c.n.u

rumpek: W sumie Eta wystarczyłoby samo: tg²x + ctg²x ≥ 2 tg²x − 2 + ctg²x ≥ 0 (tgx − ctgx)² ≥ 0 * bez rozpisywania

Eta: