Liczba naturalna Su-57: Natomiast jak podejść do tego zadania

	1		1
Znajdz najmniejszą taka liczbę n∊N że		n jest kwadratem ,		n jest sześcianem ,
	2		3

	1
		n piątą potęgą liczby naturalnej
	5

Dziękuje za pomoc

wredulus_pospolitus:

n
	= k2 −−−> n = 2k2
2

n
	= m3 −−−> n = 3m3
3

n
	= o5 −−−> n = 5o5
5

jako, że 2,3,5 są liczbami pierwszymi to: o = 2*3*a = 6a −−−> n = 2⁵*3⁵*5¹*a⁵ m = 2*5*b = 10b −−−> n = 2³*3¹*5³*b³ k = 3*5*c = 15c −−−> n = 2¹*3²*5²*c² patrzymy na NWW potęg kolejnych liczb pierwszych: NWW(5,3,1) = 15 −−> n musi być podzielne przez (2¹⁵)^d ; gdzie d ∊ N NWW(1,2,5) = 10 −−> n musi być podzielne przez (3¹⁰)^e ; gdzie e ∊ N NWW(1,2,3) = 6 −−> n musi być podzielne przez (5⁶)^f ; gdzie f ∊ N Sprawdzamy jaką najmniejszą potęgę możemy stworzyć ... '5': zauważmy, że jeżeli a = 5*g gdzie NWD(g,5) = 1 to 5¹*a⁵ da nam potęgę 5⁶ czyli minimalną jaką musimy uzyskać zauważmy, że jeżeli b = 5*h gdzie NWD(h,5) = 1 to 5³*b³ da nam potęgę 5⁶ czyli minimalną jaką musimy uzyskać zauważmy, że jeżeli c = 5²*i gdzie NWD(i,5) = 1 to 5²*c² da nam potęgę 5⁶ czyli minimalną jaką musimy uzyskać więc wiemy, że n = 2^15d*3^10e*5⁶ Przechodzimy do ... '3': zauważmy, że jeżeli a = 3*g gdzie NWD(g,3) = 1 to 3⁵*a⁵ da nam potęgę 3¹⁰ czyli minimalną jaką musimy uzyskać zauważmy, że jeżeli b = 3³*h gdzie NWD(h,3) = 1 to 3¹*b³ da nam potęgę 3¹⁰ czyli minimalną jaką musimy uzyskać zauważmy, że jeżeli c = 3⁴*i gdzie NWD(i,3) = 1 to 3²*c² da nam potęgę 3¹⁰ czyli minimalną jaką musimy uzyskać więc wiemy, że n = 2^15d*3¹⁰*5⁶ Przechodzimy do ... '2': zauważmy, że jeżeli a = 2²*g gdzie NWD(g,2) = 1 to 2⁵*a⁵ da nam potęgę 2¹⁵ czyli minimalną jaką musimy uzyskać zauważmy, że jeżeli b = 2⁴*h gdzie NWD(h,2) = 1 to 2³*b³ da nam potęgę 2¹⁵ czyli minimalną jaką musimy uzyskać zauważmy, że jeżeli c = 2⁷*i gdzie NWD(i,2) = 1 to 2¹*c² da nam potęgę 2¹⁵ czyli minimalną jaką musimy uzyskać więc wiemy, że n = 2¹⁵*3¹⁰*5⁶ i to będzie najmniejsza taka liczba. Sprawdzenie czy w ogóle taka liczba spełnia warunki zadania:

n		215*310*56
	=		= 214*310*56 = (27*35*53)2
2		2

n		215*310*56
	=		= 215*39*56 = (25*33*52)3
3		3

n		215*310*56
	=		= 215*310*55 = (23*32*51)5
5		5

Więc się wszystko zgadza.

wredulus_pospolitus: Z pewnością można było do tego szybciej dojść wykorzystując jakieś lematy bądź twierdzenia z Teorii Liczb ... ale szczerze − miałem to tak dawno, a nie korzystam z tego na co dzień ... więc podszedłem do problemu 'łopatologicznie'

Su-57: Dziękuję za ciężką pracę

wredulus_pospolitus: I to wszystko jest prawdą ... jeżeli zakładamy, że 0 ∉ N bo dla 0 ∊ N ... to oczywiście n = 0 będzie najmniejszą liczbą spełniającą to równanie

Su-57: wredulus właśnie chodzi o to żeby było ,, łopatologicznie"

wredulus_pospolitus: A teraz jak już rozwiązałem to zadanie ... to można było zauważyć, że: 1. n = 2^15d*3^10e*5^6e: gdzie

	n
15d = 2x + 1 −−> d = 1 (co wynika z		= k2)
	2

	n
10e = 3y + 1 −−> e = 1 (co wynika z		= m3)
	3

	n
6f = 5z + 1 −−> f = 1 (co wynika z		= o5)
	5

wredulus_pospolitus: Co mocno skraca samo rozumowanie ... ale ... i można obronić to rozumowanie jako 'pewne rozwiązanie' ze względu w jaki sposób doszliśmy do tych 15d, 10e, 6f