Rekurencja Althea: a₀=1, a₁=3, a₂ = 5 a_n = 3a_n−2 + 2a_n−3 Wielomian charakterystyczny mi wychodzi r³−3r−2 = 0, czyli (r+1)²(r−2)=0. Z tego a_n = c₁(−1)ⁿ + c₂n(−1)ⁿ + c₃2ⁿ I próbuję podstawiać za n po kolei 0,1,2 i rozwiązywać układ równań. Ale czego bym nie robiła pierwiastki mi się zerują. Czy tutaj inaczej należy postąpić z pierwiastkiem dwukrotnym r=−1? Czy jaki jest problem?

Althea: Hm. Potraktowałam to równanie jakby faktycznie nie było wcale pierwiastka wielokrotnego tylko

	1		4
po prostu an = c1(−1)n +c22n i mi tym razem ładnie wyszło: c1 = −		c2 =		.
	3		3

Czy coś źle zrozumiałam kiedy stosować tę regułę dla pierwiastków wielokrotnych?

Althea: Plus dodatkowy podpunkt do tego: Udowodnij, że a_n = 2a_n−1 + (−1)ⁿ⁻¹ dla n≥1. Zrobiłam do tego skojarzone równanie jednorodne b_n = 2b_n−1, przypadek ogólny mi wyszedł b_n = c2ⁿ. Jak teraz się zabrać za szczególny? Co z tym dalej?

Hua Zhi: Poczekaj może pojawi sie Mariusz On z tymi równaniami szaleje

kerajs: ''I próbuję podstawiać za n po kolei 0,1,2 i rozwiązywać układ równań. Ale czego bym nie robiła pierwiastki mi się zerują.''

	−1		4
Widocznie robisz błędy rachunkowe. Mi wychodzi c1=		, c2=0, c3=
	3		3

''Potraktowałam to równanie jakby faktycznie nie było wcale pierwiastka wielokrotnego tylko po prostu a_n = c1(−1)ⁿ +c₂2ⁿ i mi tym razem ładnie.'' Nie możesz tak robić. To zupełny przypadek, że wyszedł poprawny wynik. ''Plus dodatkowy podpunkt do tego:...'' Tu nie ma dodatkowego równania do rozwiązania. Wystarczy wstawić wzór ogólny i porównać strony.

Mariusz: Hua Zhi , ja to akurat funkcją tworzącą bym rozwiązywał ale z tego co widzę to Althea próbowała równaniem charakterystycznym Metoda funkcji tworzącej jest wygodniejsza a w przypadku pierwiastków wielokrotnych po rozkładzie funkcji tworzącej na sumę otrzymujesz pochodne szeregów geometrycznych Kerajs chyba nie odpowiedziałeś na pytanie Althei Jak należy postąpić z pierwiastkiem dwukrotnym

Mariusz: a_n = c₁(−1)ⁿ + c₂n(−1)ⁿ + c₃ 2ⁿ Postać rozwiązania dobra wystarczy rozwiązać następujący układ równań c₁ + c₃ = 1 −c₁ − c₂ + 2c₃ = 3 c₁ +2c₂ + 4c₃ = 5

Althea: Tak, tak − z podpunktem pierwszym faktycznie o to chodziło, taki układ równań robiłam, tylko w międzyczasie dochodziło do "zwykłych" błędów − chyba pomyliłam współczynniki przy c₂ i cały układ szedł się... kochać Wciąż jednak nie rozumiem co zrobić z 2. podpunktem, jak dojść do tego że ten ciąg z 1. postu w tym wątku i ten z podpunktu to to samo. Po szybkim spojrzeniu na wikipedię te funkcje generujące to raczej nie coś, co mam w programie w tym semestrze patrząc, że szeregi mam dopiero w przyszłym.

Mariusz: Próbowałaś indukcją A czy to czasem ten ciąg a_n to nie ten sam co z pierwszego wpisu

Althea: Tak, w całym podpunkcie chodzi o to żeby udowodnić że a_n=3a_n−2 +2a_n−3 oraz a_n=2a_n−1+(−1)ⁿ⁻¹ to to samo.

Althea: I mimo że to nie jest w poleceniu, to wolałabym to zrobić przez doprowadzanie do postaci zwartej, gdyż taki materiał mnie obowiązuje.

Mariusz:

	1
Niech sn =		sn−1
	2

	1
ansn = 2an−1(		sn−1)+(−1)n−1sn
	2

b_n = a_ns_n b_n = b_n−1 + (−1)ⁿ⁻¹s_n

	−1
bn = bn−1 − (		)n
	2

b₀ = a₀*s₀ Jeżeli przyjmiemy za s₀ = 1 to otrzymamy b₀=a₀ = 1

	−1
bn = b0+ ∑k=1n(−(		)k)
	2

	1		−1   1 − ( )k   2
bn = 1+		*
	2		1   1−(− )   2

	1		1		4
bn = −		*(−		)n +
	3		2		3

	1		1		4
ansn = −		*(−		)n +
	3		2		3

	1		1		1		4
an*(		)n = −		*(−		)n +
	2		3		2		3

	1		4
an = −		*(−1)n+		*2n
	3		3

kerajs: ''Mariusz: (...) Kerajs chyba nie odpowiedziałeś na pytanie Althei Jak należy postąpić z pierwiastkiem dwukrotnym '' Odpowiedziałem.

Mariusz: "Odpowiedziałem." I jeszcze kłamie w żywe oczy Napisałeś "Widocznie robisz błędy rachunkowe Mnie wychodzi ... " i wg mnie napisałeś za mało Napisałeś "Nie możesz tak robić. To zupełny przypadek, że wyszedł poprawny wynik. " ale wtedy odnosiłeś się do innego wpisu Tak właściwie to odpowiedź na to "Jak należy postąpić z pierwiastkiem dwukrotnym" podała w swoim pierwszym wpisie Tak wiem że Althea jeszcze nie miała funkcji tworzących więc dalsza część tego wpisu jeszcze nie jest dla niej ale przynajmniej widać będzie moje preferencje co do sposobu rozwiązywania takich równań Ja tam lubię funkcje tworzące bo wystarczy zdefiniować funkcje tworzącą (zwykłą bądź wykładniczą) wstawić do równania i równanie samo się rozwiązuje Co do zbieżności takiego szeregu to dobrze aby promień zbieżności był niezerowy choć nie jest aż tak ważne ile on wynosi W przypadku równania liniowego o stałych współczynnikach dostajemy sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych Z szeregów geometrycznych dostajemy funkcję wykładniczą a gdy pojawią się pochodne to oprócz funkcji wykładniczej dostaniemy też czynnik wielomianowy Co do innych sposobów rozwijania funkcji tworzącej to mamy n krotne różniczkowanie iloczyn Cauchyego szeregów , czy w pewnych sytuacjach dwumian Newtona Na przykład wykładniczą funkcją tworzącą ciągu wielomianów Czebyszowa jest E(x,t) = e^xtcos(√1−x² t) i tutaj stosunkowo łatwo będzie skorzystać z wzoru Leibniza na pochodną iloczynu bo pochodne czynników dość łatwo policzyć Wykładniczą funkcją tworzącą ciągu wielomianów Hermite jest E(x,t) = e^2xt−t2 Tutaj dobrym pomysłem będzie skorzystanie z rozkładu funkcji na sumę funkcji parzystej i nieparzystej a następnie z iloczynu Cauchyego szeregów Zwykłą funkcją tworzącą ciągu wielomianów Legendre jest

	1
G(x,t) =
	√1−2xt+t2

Tutaj natomiast dobrym pomysłem jest dwukrotne zastowanie dwumianu Newtona

: problemy to ... czytanie ze zrozumieniem.

kerajs: ''Mariusz: I jeszcze kłamie w żywe oczy Napisałeś "Widocznie robisz błędy rachunkowe Mnie wychodzi ... " i wg mnie napisałeś za mało '' To jest tak głupie, że nie chce mi się tego komentować.