Dowód liczby Hua Zhi: Udowodnij że jeżeli n jest liczbą naturalna większą od 4 to między liczbami n i 2n jest zawarta przynajmniej jedna liczba naturalna która jest kwadratem liczby naturalnej

wredulus_pospolitus: zauważmy, że mamy 'ciekawą' zależność pomiędzy kolejnymi kwadratami liczb naturalnych: (k+1)² − k² = 2k + 1 Dodatkowo sprawdźmy kiedy zachodzi nierówność: n + 1 > 2√n n + 1 > 2√n n² + 2n + 1 > 4n n² − 2n + 1 > 0 (n−1)² > 0 −−−> dla n > 1 Indukcyjnie (ale lekko zmodyfikowane): 1. n = 5 −> 2n = 10 k = 3 −> k² = 9 spełnia warunek 2. n = m spełnia warunek 3. n = m + 1 jeżeli liczba k spełniała warunek dla liczby m, to o ile k² ≠ m, to także będzie spełniać dla m + 1. Więc co będzie gdy ów k² = m, wtedy zauważmy, że (k+1)² = k² + 2k + 1 = (m +1)+ 2√m < (m+1) + m+1 = 2(m+1) W efekcie wykazaliśmy, że jeżeli dla jakiegoś 'n' możemy znaleźć taką liczbę naturalną k, że k² należy do zadanego przedziału, to albo ta sama liczba k² będzie należeć do tego przedziału albo liczba (k+1)² będzie należeć do tego przedziału. Z pewnością można to 'zgrabniej' wykonać.

Hua Zhi: Dzięki wredulus A to drugie powinno być dobrze