funkcje lchde: załóżmy, że f:R−−>R jest funkcją ciągłą i f(x)f(f(x))=1 , dla wszystkich rzeczywistych x. Niech f(10)=5. Następnie dla wszystkich takich funkcji rozważ następujące stwierdzenia: a) f(4)=1/4 b) f(6)=1/6 c) f(x)=x/4 d) f(x) może mieć maksymalnie 9 liczb całkowitych w swoim zakresie Mam (a) jako poprawne i (b) jako błędne, używając argumentu, że zakres f(x) wynosi co najmniej [1/5,5], ale jak zweryfikować opcje c i d?

wredulus_pospolitus: (c) f(x) = x/4 −−−> f(f(x)) = x/16 −−−> f(x)*f(f(x)) = x²/64 ≠ 1 dla x ≠ 8 i x ≠ −8 (b) wybacz, ale nie bardzo rozumiem Twoją argumentację. Skoro CO NAJMNIEJ taki zakres jest, to nie oznacza że nie może być większy i że nie może zajść f(6) = 1/6. Jak dla mnie ta argumentacja jest zbyt słaba. (d) co wiemy ... wiemy, że: f(10) = 5 −−−> f(5) = 1/5 −−−> f(1/5) = 5 załóżmy, że ∃_{xo ∊ R} f(x_o) = 10

	1
wtedy f(10) =		co jest nieprawdą −−−> wniosek 10 ∉ ZW −−> ∀xo ≥ 10 xo ∉ ZW
	10

związku z tym ... 9 może być największą liczbą całkowitą w zbiorze wartości. Teraz idziemy w drugą stronę. załóżmy, że ∃_{xo ∊ R} f(x_o) = 0

	1
wtedy f(0) =		co jest bzdurą −−−> wniosek 0 ∉ ZW −−> ∀xo ≤ 0 xo ∉ ZW
	0

związku z tym ... 1 może być najmniejszą liczbą całkowitą w zbiorze wartości. W efekcie −−− maksymalnie 9 liczb całkowitych (od 1 do 9) może być w ZW (a minimalnie 5).

wredulus_pospolitus: jak dla mnie (b) może (ale nie musi) być spełnione ... zależy to od tego jak zbudujemy sobie funkcję f(x). Ponieważ możemy zrobić: f(100) = 6 −−> f(6) = 1/6 A możemy zbudować tak funkcję f(x), że f(x) < 6 dla dowolnego x.