Tablica liczbowa #a: Dana jest trójkątna tablica liczb 1 1,2 1,2,3 ............ 1,2,3,...... n−1 1,2,3,.......n−1,n Znajdz liczbe n wiedząc ze suma wszystkich liczb tablicy wynosi 286 Wskazówka Zauważ ze sumy liczb zapianych w poszczególnych wierszach tablicy sa sumami częściowymi ciągu arytmetycznego . Otrzymaną sumę tak przekształć abyś mógł zastosować wzór z zadania 294

	1
czyli 1*2+2*3+3*4+4*5+......n(n+1)=		n(n+1)(n+2)
	3

wredulus_pospolitus: no i w czym tkwi problem

wredulus_pospolitus: wypisz za pomocą wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego kolejne wiersze tej tablicy. zapisz jako sumę tych sum ... widzisz związek z lewą stroną równania który masz podany we wskazówce

#a: S₁=a₁=1 S₂=1+2=3 S₃=1+2+3=6 S₄=10 S₅4=15 S₆=21 S₇=28 itd Niestety nie widze związku CO zauważyłem to jesli policze S₈ to do S₇ musze dodac 8 czyli S₈=36 Tosamo do S₈ dodam 9 i mam S₉ Na 286 moge wypisac ale jesli będzie bardzo duża suma to nie bardzo

wredulus_pospolitus: ZA POMOCĄ WZORU na sumę ciągu arytmetycznego

wredulus_pospolitus:

	1+1		2*1
S1 =		*1 =
	2		2

	1+2		3*2
S2 =		*2 =
	2		2

	1+3		4*3
S3 =		*3 =
	2		2

....

	1+n		(n+1)*n
Sn =		*n =
	2		2

S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n = ....... <−−− czy widzisz związek z lewą stroną wzoru który masz podany w podpowiedzi

#a: Tak teraz widzę . Zadanie już dokończę

Mariusz: A czy ten wzorek jest dobrze przepisany ? Mamy sumę

	k(k+1)		1
∑k=1n		=		(∑k=1n(k2+k))
	2		2

Możemy znaleźć wzór zwarty na tę sumę korzystając z funkcji tworzącej Najpierw wyznaczmy funkcję tworzącą ciągu a_k = k²+k a następnie skorzystajmy z funkcji tworzącej ciągu sum częściowych Aby ułatwić sobie różniczkowanie szeregu geometrycznego zapiszmy wielomian k²+k w postaci znanej z interpolacji Newtona k²+k = (k+1)(k+2)−2(k+1)

	1
∑k=0∞xk =
	1−x

	−1
∑k=0∞kxk−1 =		(−1)
	(1−x)2

	1
∑k=1∞kxk−1 =
	(1−x)2

	−2
∑k=1∞k(k−1)xk−2 =		(−1)
	(1−x)3

	2
∑k=2∞k(k−1)xk−2 =
	(1−x)3

	2*3
∑k=3∞k(k−1)(k−2)xk−3 =
	(1−x)4

	1
∑k=0∞(k+1)xk =
	(1−x)2

	2
∑k=0∞(k+2)(k+1)xk =
	(1−x)3

	6
∑k=0∞(k+3)(k+2)(k+1)xk =
	(1−x)4

	2		2
Funkcja tworząca ciągu ak = k2+k to		−
	(1−x)3		(1−x)2

ale my potrzebujemy połowy tego

	1		1
A(x)=		−
	(1−x)3		(1−x)2

	1
Funkcja tworząca ciągu sum częściowych to S(x)=		A(x)
	1−x

	1		1
S(x) =		−
	(1−x)4		(1−x)3

	1		1
S(x) =		(∑k=0∞(k+3)(k+2)(k+1)xk) −		(∑k=0∞(k+2)(k+1)xk)
	6		2

	1		1
S(x) = ∑k=0∞((		(k+3)(k+2)(k+1) −		(k+2)(k+1))xk)
	6		2

	1		1
Sn =		(n+3)(n+2)(n+1) −		(n+2)(n+1)
	6		2

	1		1
Sn =		(n+2)(n+1)(n+3)−		*3(n+2)(n+1)
	6		6

	1
Sn =		(n+2)(n+1)(n+3−3)
	6

	1
Sn =		n(n+1)(n+2)
	6

A tak ten wzorek co podałeś zdaje się być poprawny tyle że zlicza dwa razy tyle co potrzebujesz Mamy zatem równanie

1
	n(n+1)(n+2) = 286
6

Ponieważ chcemy tylko naturalne pierwiastki tego równania wystarczy obustronnie pomnożyć równanie przez 6 i sprawdzać dzielniki wyrazu wolnego

.: Zlicza dwa razy to co potrzebuje bo w takiej postaci został zapisany, a w takiej postaci jest zapisany zapewne dlatego że tak jak treść zadania sugeruje − był wyprowadzamy w taki sposób w którymś z poprzednich zadań.

#a: Należało to udowodnic indukcyjnie To jest druga liceum więc tylko indukcyjnie https://zapodaj.net/plik-huds4uXaUf