Mnożenie Moxi: Wykonano mnożenie (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)*......(x−98)(x−99)(x−100) Jaki współczynnik otrzymano przy x⁹⁹ ? W odpowiedzi jest 5050 ale nie wiem jak to policzono

: Tak: −1−2−3− ...−100=−5050

Moxi: Dobrze . dzięki

Moxi: A możesz jeszcze napisac czy w takim mnożeniu jest jakas ogólna prawidłowość liczenia współczynnikow ? Podejrzewam ze przy potędze parzystej bedzie + przy nieparzystej bedzie (−) przed współczynnikiem Chciałbym policzyc wspolczynnik przy x⁵4np

: Te prawidłowości opisał jakieś cztery wieki temu Franek Viète i dlatego nazywa się je wzorami Vieta.

Moxi: Wróce do tego pózniej

#a: Tak myślę ze wzory Viete'a służą do obliczania pierwiastków wielomianów Mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego tak przy x⁹⁹ Jak obliczyc ten współczynnik przy x⁵⁴ ? Zadanie jest z permutacje i kombinacje Dziękuje

.: Nie. Wzory Viete'a podają nam zależność pomiędzy współczynnikami wielomianu a pierwiastkami.

.: Mamy 100 nawiasow postaci (x − a) Aby uzyskać x⁹⁹ musimy wybrać 99razy 'x' i dokładnie raz liczbę a. Jako że chodzi o współczynnik wielomianu przy x⁹⁹ to musimy zsumowac wszystkie te wybory. Stad powyższa suma.

Mila: 1) (x−1)*(x−2)=x²−(1+2)x+2 (x−1)*(x+2)=x²+(−1+2)x−2=x²+x−2 dalej rozpisz następne iloczyny i uogólnij

#a: Dzień dobry dalej byłoby tak co do współczynnika przy x⁹⁹ (x−1)(x−2)(x−3) = x³−(1+2+3)x²+.......... (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)= x⁴−(1+2+3+4)x³+......... (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)= x⁵−(1+2+3+4+5)x⁴+...... Więc przy iloczynie (x−1)(x−2)(x−3).............(x−100) przy x⁹⁹ będzie stał współczynnik który jest suma kolejnych lizb naturalnych od 1 do 100

	100*101
S100=		=5050
	2

Mila:

^_^: To w końcu ten współczynnik wynosi 5050, czy jednak −5050 ?

#a: Przed suma jest znak (−) więc będzie (−5050)