Układ równań Moxi: Rozwiąż układ równań {x−y=2 {x⁵−y⁵=242 x=2−y x⁵−y⁵=(x−y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴) 2(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)=242 x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴=121 (2−y)⁴+y*(2−y)³+y²(2−y)²+y³(2−y)+y⁴=121 y⁴−4y³+16y²−24y+16=121 y⁴−4y³+16y²−24y−105=0 Tutaj sie zatrzymuje bo nie mam całkowitych pierwiastków Poziom szkoła średnia

wredulus_pospolitus: skoro masz dwumian Newtona ... to się bawimy wzorami skróconymi: x−y = 2 −−> (x−y)⁵ = 32 co w połączeniu z drugim równaniem daje nam: −5x⁴y + 10x³y² − 10 x²y³ + 5xy⁴ = −210 x⁴y − 2x³y² + 2x²y³ − xy⁴ = 42 xy(x³ − 2x²y + 2xy² − y³) = 42 xy(x−y)³ + x³y² − x²y³ = 42 8xy + (xy)²(x−y) = 42 2(xy)² + 8(xy) − 42 = 0 (xy)² + 4(xy) − 21 = 0 (ewentualnie podstaw sobie w = xy jeżeli tak będzie Ci łatwiej) xy = 3 lub xy = −7 więc mamy: x−y = 2 i xy = 3 lub x−y = 2 i xy = −7

wredulus_pospolitus: a taka uwaga do Twojego rozwiązania: x−y = 2 −−−> x = 2 + y

Moxi: No tak Taki czeski bład

Moxi: Po poprawce mam y⁴+4y³+8y²+8y−21=0 A to juz jest do garnięcia dla y=1 mam juz pierwiatek

Mariusz: A jaki będzie drugi pierwiastek ? Odgadnięcie jednego pierwiastka da ci równanie trzeciego stopnia Równanie trzeciego stopnia można uzyskać bez odgadywania pierwiastków y⁴+4y³+8y²+8y−21=0 Pomysł jest taki aby zapisać wielomian po lewej stronie równania w postaci różnicy kwadratów y⁴+4y³+8y²+8y−21=0 (y⁴+4y³) − (−8y²−8y+21) = 0 (y⁴+4y³+4y²) − (−4y²−8y+21)=0 (y²+2y)² − (−4y²−8y+21) = 0 Teraz zauważmy że wyrażenie (−4y²−8y+21) jest trójmianem kwadratowym Trójmian kwadratowy będzie kwadratem zupełnym jeśli jego wyróżnik będzie równy zero Wprowadzamy więc parametr od którego uzależnimy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego

	z		z2
(y2+2y+		)2 − ((z−4)y2+(2z−8)y+		+21) = 0
	2		4

Liczymy wyróżnik i przyrównujemy go do zera

	z2
4(		+21)(z−4) − (2z−8)2 = 0
	4

Łatwo zauważyć wspólny czynnik z−4 z−4 = 0 z=4 będzie jednym z pierwiastków tego równania Mamy zatem (y²+2y+2)² − (25) = 0 (y²+2y+2)² − 5² = 0 (y²+2y+2−5)(y²+2y+2+5) (y²+2y−3)(y²+2y+7) = 0 (y+3)(y−1)(y²+2y+7) = 0 Tak, po tej poprawce udałoby ci się odgadnąć te pierwiastki

Moxi: Dziękuje równiez Mariusz

ABC: Małolat za mało pracujesz ze starymi zbiorami zadań z dawnego ZSRR w nich uczą ,że standardowy trick aby uciec od Mariusza w takich układach to podstawienie x=t+1 , y=t−1 otrzymujesz po redukcji równanie 4 stopnia dwukwadratowe t⁴+2t²−24=0 a to jak najbardziej szkoła średnia

Moxi: ABC W sumie to była taka wskazówka do zadania żeby zrobic podstawienie x=t+1 Tylko nie wiedziałem dlaczego tak i zrobiłem po staremu tyle że z błedem i dlatego mi nie wyszło. Było w podręczniku oznaczone gwiazdka