całka weronika:

	ln(1+x2)
Oblicz ∫		dx
	x

wredulus_pospolitus: Skąd masz taką całkę? Taka jest podana w przykładzie czy w jakiś sposób powstała. Jeżeli w jakiś sposób powstała to w jaki sposób i jaka jest oryginalna treść zadania

Mariusz:

	ln(1+x2)		xln(1+x2)
∫		dx =		dx
	x		x2

t = 1+x² dt = 2xdx

	dt
xdx=
	2

	ln(1+x2)		1		ln(t)
∫		dx =		∫		dt
	x		2		t−1

	ln(1+x2)		1		ln(t)
∫		dx = −		∫		dt
	x		2		1−t

	1
−		dilog(1+x2)+C
	2

Można też rozwinąć w szereg Rozwińmy w szereg funkcję f(x)=ln(1+x)

	f(n)(0)
f(x)=∑n=0∞		xn
	n!

d		1
	ln(1+x) =
dx		(1+x)

d2		−1
	=
dx2		(1+x)2

d3		(−1)*(−2)
	=
dx3		(1+x)3

d4		(−1)*(−2)*(−3)
	=
dx4		(1+x)4

. . .

dn		(−1)n−1(n−1)!
	=		, n ≥ 1
dxn		(1+x)n

	f(n)(0)
f(x)=∑n=0∞		xn
	n!

	f(n)(0)
f(x)=ln(1) + ∑n=1∞		xn
	n!

	(−1)n−1(n−1)!
f(x)=ln(1) + ∑n=1∞		xn
	n!

	(−1)n−1
f(x)=∑n=1∞		xn
	n

Zatem funkcję podcałkową można rozwinąć następująco

	(−1)n−1
g(x) = ∑n=1∞		x2n−1
	n

Całkując wyraz po wyrazie otrzymujemy

	(−1)n−1	1
∑n=1∞			x2n
	n	2n

	1		(−1)n
−		(∑n=1∞		x2n)
	2		n2