Równania krzywych Mi Ka: Niech: f(x,y)=4x²+9y²−5 g(x,y)=x−2y h(x,y)=x+2y−5 a) Jakie figury płaskie sa określone równaniami ? 1) f(x,y)=0 (to będzie elipsa) 2)g(x,y)*h(x,y)=0 Jest to prawdziwe gdy g(x,y)=0 lub h(x,y)=0

	1
x−2y=0 −2y=−x y=		x
	2

lub

	−x+5
x+2y−5=0 2y=−x+5 y=
	2

	1		1		5
Będzie to para prostych y=		x i y=−		x+
	2		2		2

b) Jaka figure płaska w zależności od od parametru rzeczywistego (k) określa równanie f(x,y)+k*g(x,y)*h(x,y)=0? 4x²+9y²−5+k*(x−2y)(x+2y−5)=0 4x²+9y²−5+kx²−5kx−4ky²+10ky=0 (4+k)x²+(9−4k)y²−5kx+10ky−5=0 Współczynnik przy x² znika dla k=−4

	9
Współczynnik przy y2 znika dla k=
	4

1) dla k∊(−∞,−4) A=4+k<0 i B=9−4k>0 więc to jest równanie hiperboli 2) dla k=−4 Współczynnik A przy x² znika zostaje przy y² więc to jest równanie paraboli

	9
3) dla k∊(−4,		) A=4+k>0 i B=9−4k}>0 więc to jest równanie elipsy
	4

	9
4) dla k=		Znika współczynnik przy y2 zostaje przy x2 więc to jest równanie paraboli
	4

	9
5) dla k∊(		,∞) A=4+k>0 i B=9−4k<0 (przeciwne zwroty) więc to jest równanie hiperboli
	4

) Dla jakiej wartości parametru (k) równanie f(x,y)+k*g(x,y)*h(x,y)=0 określa okrąg ? Znależc środek i promień tego okręgu (4+k)x²+(9−4k)y²−5kx+10ky−5=0 Wspólczynniki które stoja przy x² i y² musza byc równe zeby równanie określało okrąg 4+k=9−4k 5k=5 k=1 Dla k=1 równane to przedstawia okrąg 5x²+5y²−5x+10y−5=0 / : (5) x²+y²−x+2y−1=0 (x²−x)+(y²+2y)−1=0

	1		1
(x−		)2−		+(y+1)2−1−1=0
	2		4

	1		9		3
(x−		)2+(y+1)2=		=(		)2
	2		4		2

	1		3
Srodek okręgu S=(		,−1) promien r=
	2		2