Wektory Wiktoriaa: Dlaczego we wzorze na sinus kąta między niezerowymi wektorami jest w liczniku wartość bezwzględna, a na kosinus kąta między wektorami już nie ma?

Mi Ka: Ja mam takie wzory u→=[a₁ b₁} v→=[a₂ b₂] φ kat miedzy wektorami

	a1*b2−a2*b1
sinφ=
	|u→|*|v→|

	a1b1+a2b2
cosφ=
	|u→|+|→|

a₁ b₁ wspolrzedne wektora u a₂ b₂ wsplrzedne wektora v |u^→| dlugosc wektora u |v^→| dlugosc wektora v

chichi: bo sinus kąta wypukłego jest dodatni... chyba za daleko powędrowałaś

chichi: no w twoim wzorze brakuje modułu...

wredulus_pospolitus: zauważ, że bez modułu mielibyśmy inną wartość sinα dla u,v a inną dla v,u chodzi mi o kwestię u₁v₂ − u₂v₁ = −(v₁u₂ − v₂u₁) Co jest poprawne, w końcu sin(360^o − α) = −sinα Ale trzeba pamiętać, że kąt α pomiędzy wektorami jest z zakresu [0; 180), więc jeżeli przyjmiemy złą kolejność między wektorami, wyjdzie nam zły wynik. Moduł pozwala nam nie przejmować się tą kwestią i zawsze otrzymamy wartość nieujemną, czyli dla kąta z tegoż właśnie zakresu.

wredulus_pospolitus: Tak więc −−−> moduł nie jest konieczny ... o ile obierzemy odpowiedni kierunek pomiędzy wektorami ... a ciężko to zrobić przed obliczeniem ... więc łatwiej dodać moduł i po prostu się tym nie przejmować

Magdaa_00: Hmm cieawe, czy jest jakich formalny dowód tego wzoru?

wredulus_pospolitus: 1. 'Zaczepiamy' wektory na początek układu współrzędnych 2. z tw. cosinusów i posiłkując się z tw. Pitagorasa: (b₂ − a₂)² + (a₁ − b₁)² = = (b₁² + b₂²) + (a₁² + a₂²) − 2√(b₁² + b₂²)(a₁² + a₂²)*cosα −2a₂b₂ − 2a₁b₁ = −2√(b₁² + b₂²)(a₁² + a₂²)*cosα

	a1b1 + a2b2
cosα =
	|a→|*|b→|

natomiast z trygonometrii wiemy, że: sinα = ±√1−cos²α jako, że wiemy co wiemy odnośnie kąta α (zakres), to sinα = √1−cos²a więc: cos²α = .... (*) licznik: (a₁b₁ + a₂b₂)² = a₁²b₁² + 2a₁b₁a₂b₂ + a₂²b₂² mianownik: (√a₁²+a₂²*√b₁² + b₂²)² = = a₁²b₁² + a₁²b₂² + a₂²b₁² + a₂²b₂²

	mianownik − licznik
sin2α = 1 − cos2α =		=
	mianownik

	a12b22 − 2a1b1a2b2 + a22b12
=		=
	mianownik

	(a1b2 − a2b1)2
=
	mianownik

A więc:

	|a1b2 − a2b1|
sinα =
	|a→|*|b→|