Okrąg wpisany w trójkąt Krzysiek Z: Oblicz trzeci bok Trzy cięciwy okręgu o promieniu r tworza trójkąt wpisany w ten okrąg .

	1
Wiedzą że dwie z tych cięciw maja długość		r i r√3 znaleć długość trzeciej cięciwy
	2

Dane ;

	1
a=		r
	2

b=r√3 Obliczyc c c²=a²+b²−2a*b*cosγ

	1		1
c2=		r2+3r2−2*		r*√3r*cosγ
	4		2

	1
c2=3		r2−√3r2*cosγ
	4

Ale brakuje mi cosγ do policzenia

Krzysiek Z: Ma byc trójkąt wpisany w okrąg

Krzysiek Z:

pepe: Są dwa przypadki: a) i b). Trójkąt ABC jest równoboczny, |∡ASB| = |∡ASC| = 120^o. Przyjemnej zabawy

Krzysiek Z: Dziękuje i pozdrawiam ciepło

pepe: Warto wziąć pod uwagę twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

Krzysiek Z: Przypadek a) ∡|BSD|=150^o x²=2r²−2r²*cos150^o

	√3
x2=2r2+2		r2
	2

x²=2r²+√3r²=r²(2+√3) x=r*√2+√3

pepe: Na jakiej podstawie twierdzisz, że |∡BSD| = 150^o? Sugeruję wyznaczyć najpierw y w trójkącie ACD korzystając z twierdzenia cosinusów i potem x w czworokącie ABCD korzystając z twierdzenia Ptolemeusza.

Krzysiek Z: Witam. Troche mi nie wyszedł rysunek |AB|=r i kąt srodkowyASB =60^o

	1
|AC|=		r to kąt srodkowy ASC=30o
	2

Więc na rysunku a) ∡|ASD|=30^o i ∡|ASB|=120^o stad ∡|BSD|=150^o

pepe: Bzdura

pepe: z twierdzenia cosinusów: cosα = ?

Krzysiek Z: Liczyłem też to troche inaczej

	r/4		1
cosx=		=
	r		4

x=75^o i α wtedy =30^o

Krzysiek Z: Dla a) przelicze Do ) skorzystam z tego ze kąt ADC=120^o i tez przelicze Na razie dzięki za pomoc

Krzysiek Z: Więc licze b)

	r		r		1		1
(r√3)2=(		)2+y2−2*		*y*(−		) bo cos120o=−sin30o=−
	2		2		2		2

	1		1
3r2=		r2+y2+		ry
	4		2

	1		3
−y2−		ry+2		r2=0
	2		4

	ry		11
y2+		−		r2=0
	2		4

4y²+2ry−11r²=0 Δ=(2r)²−4*4*(−11r²)=4r²+176r²=180r² √180r²=6√5r

	−2−6√5r
y1=		<0 odpada
	8

	−2+6√5r		2(3√5r−1)		3√5−1
y2=		=		=		>0 dobry
	8		8		4

Do a) zobacze najpierw na to twierdzenie

Krzysiek Z: Mam juz . W czworokącie ABSD |AS|*|BD|=|AB|*|SD|+|SB|*|AD|

	r
|AS|=r |BD|=x |AB|=r√3 |SD|=r |SB|=r |AD|=
	2

	1
r*x=r2√3+		r2
	2

	1
r*x=r2(√3+		)
	2

	1
x=r(√3+		)
	2

Ufff skończyłem

zuza: źle x

pepe: No dobra, jedziemy.

	1   r 2		1		√15
W trójkącie ABD z twierdzenia sinusów:		=2r ⇒ sinα=		, cosα=
	sinα		4		4

	√3		√15		1		1		3√5 + 1
sin(60o + α) =		*		+		*		=
	2		4		4		2		8

	√3		√15		1		1		3√5 − 1
sin(60o − α) =		*		−		*		=
	2		4		4		2		8

Z twierdzenia sinusów:

	x
w trójkącie BCD:		= 2r ⇒ x = ...
	sin(60o + α)

	y
w trójkącie ACD:		= 2r ⇒ y = ...
	sin(60o − α)

Krzysiek Z: Dzięki . Dobrej nocy