Ciąg Krzysiek Z: Ciąg a_n jest określony wzorami a₁=a a₂=2A a_n+1=2a_n−a_n−1 gdzie A jest dana liczbą naturalną. Udowodnić ze każda liczba całkowita większa od zera i podzielna przez A jest wyrazem tego ciągu .

wredulus_pospolitus: a₂ = 2A czy może a₂ = 2a

wredulus_pospolitus: zróbmy nietypowo ... czyli z indukcji matematycznej: hipoteza: a_n = n*a 1. n = 1 a₁ = a 2. n = k ; n = k+1 a_k = k*a a_k+1 = (k+1)*a 3. n = k+2 a_k+2 = 2a_k+1 − a_k = // z (2) // = 2(k+1)*a − a*k = (k+2)*a c.n.w. wniosek i gotowe

Krzysiek Z: Wredulus dziękuje . ma byc duże A

.: W sumie w 1. Winno się też sprawdzić n=2 Wtedy dopiero ta indukcja dobrze 'dziala'

Mariusz: Jeżeli chodzi o tę hipotezę to może lepiej byłoby założyć że ciąg jest arytmetyczny Z zależności rekurencyjnej obliczyć a₃ a₁ mamy dane różnicę zaś możemy obliczyć z równości a₃ − a₂ = a₂ − a₁ Dostaniemy wzór ciągu arytmetycznego i dopiero wtedy poprawność hipotezy można wykazać indukcją Ja tutaj pobawię się funkcją tworzącą a₁ = a a₂ = 2A a_n+1=2a_n − a_n−1 a₁ = a a₂ = 2A a_n+2=2a_n+1 − a_n A(x) = ∑_n=1^∞a_nxⁿ ∑_n=1^∞a_n+2xⁿ = ∑_n=1^∞(2a_n+1 − a_n)xⁿ ∑_n=1^∞a_n+2xⁿ = 2(∑_n=1^∞a_n+1xⁿ) − (∑_n=1^∞a_nxⁿ)

1		2
	(∑n=1∞an+2xn+2) =		(∑n=1∞an+1xn+1)
x2		x

− (∑_n=1^∞a_nxⁿ) (∑_n=1^∞a_n+2xⁿ⁺²) = 2x(∑_n=1^∞a_n+1xⁿ⁺¹) − x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ) (∑_n=3^∞a_nxⁿ) = 2x(∑_n=2^∞a_nxⁿ) − x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ) (∑_n=1^∞a_nxⁿ − ax − 2Ax²) = 2x(∑_n=1^∞a_nxⁿ − ax) − x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ) (∑_n=1^∞a_nxⁿ) − 2x(∑_n=1^∞a_nxⁿ) + x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ) = ax+2(A−a)x² (1−2x+x²)(∑_n=1^∞a_nxⁿ) = ax+2(A−a)x²

	ax+2(A−a)x2
∑n=1∞anxn =
	(1−2x+x2)

	ax+2(A−a)x2
∑n=1∞anxn =
	(1−x)2

px		qx		px(1−x)+qx
	+		=
1−x		(1−x)2		1−x)2

px(1−x)+qx = ax+2(A−a)x² p(1−x)+q = a + 2(A−a)x p+q = a −p = 2(A−a) p = 2(a−A) q = a − 2a +2A p = 2a − 2A q = −a + 2A

	x		x
∑n=1∞anxn = (2a − 2A)		+ (−a + 2A)
	1−x		(1−x)2

	x
∑n=1∞xn =
	(1−x)

d		d		x
	(∑n=1∞xn) =		(		)
dx		dx		(1−x)

	1*(1−x) − x*(−1)
∑n=1∞nxn−1 =
	(1−x)2

	1−x+x
∑n=1∞nxn−1 =
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1 =
	(1−x)2

	x
∑n=1∞nxn =
	(1−x)2

∑_n=1^∞a_nxⁿ = (2a − 2A)∑_n=1^∞xⁿ + (−a + 2A)(∑_n=1^∞nxⁿ) ∑_n=1^∞a_nxⁿ = ∑_n=1^∞ ((2a − 2A) + (−a + 2A)n)xⁿ a_n = (2a − 2A) + (−a + 2A)n

Mariusz: Ak = (2a − 2A) + (−a + 2A)n Ak + 2A − 2a = (2A − a)n

	A(k+2)−2a
n =
	2A − a

I teraz gdyby teza była prawdziwa to dla każdego k ∊ ℤ₊ musielibyśmy A(k+2)−2a musiałoby być podzielne przez 2A − a a czy tak jest

Krzysiek Z: Dziękuje Mariusz .