Równanie stopnia trzeciego Dong: Wykazać że jeżeli równanie x³+ax+b=0 ma pierwiastek podwójny to 4a³+27b²=0 Jeśli x₁=x₂ =k i x₃=l i k≠l x³+ax+b=(x−k)²(x−l) skąd od razu mamy twierdzenie . Tw. Jeśli równanie stopnia trzeciego (f(x)=0) posiada pierwiastek podwojny x₁=x₂=k to równanie (f'(x)=0) ma pierwiastek pojedynczy x₁=k Pierwastek(podwójny) x₁ spełnia układ równań {x₁³+ax₁+b=0 /*3 {3x₁²+a=0 /*(−x₁) {3x₁³+3ax₁+3b=0 {−3x₁³−ax₁=0 Dodaje do siebie te równania 2ax₁+3b=0 2ax₁=−3b

	3b
x1=−
	2a

x₁ wstawiam do drugiego równania

	3b		9b2		27b2
3x12+a=3*(−		)2+a= 3*		+a=		+a=27b2+4a3
	2a		4a2		4a2