Rozwiązać równanie różniczkowe otto: Rozwiąż równanie różniczkowe:

dy
	− y = x sinx
dx

wredulus_pospolitus: Otto −−− podstawowe pytanie −−− jaki to jest typ RR'ów? Następnie −−− jaką znasz procedurę rozwiązywania tego typu równania I kończąc −−− to skoro znasz procedurę, to w czym tkwi problem

Mariusz: Równanie liniowe

dy
	+ p(x)y = q(x)
dx

Procedura nr 1 Rozwiązujesz najpierw równanie jednorodne

dy
	+ p(x)y = 0
dx

W równaniu jednorodnym można rozdzielić zmienne (Mnożąc stronami przez pewien czynnik albo dodając stronami sprawiasz aby po jednej stronie równania było tylko wyrażenie z y a po drugiej stronie równania było tylko wyrażenie z x i wtedy całkujesz obustronnie) Otrzymujesz w ten sposób rozwiązanie ogólne równania jednorodnego Rozwiązanie szczególne możesz znaleźć uzmienniając stałą Zakładasz że rozwiązanie szczególne jest postaci y(x) = C(x)y₁(x) gdzie y₁(x) jest rozwiązaniem równania jednorodnego i wstawiasz do równania niejednorodnego Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego Procedura nr 2 Dla równania liniowego pierwszego rzędu znany jest czynnik całkujący μ(x) = e^∫p(x)dx Mnożysz równanie przez czynnik całkujący i całkujesz obustronne Procedura nr 3 Ponieważ współczynniki równania są stałe a część niejednorodna jest postaci P(x)e^λx , gdzie λ ∊ ℂ , a P(x) jest wielomianem to można też przewidywać rozwiązanie Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego znajdujesz wstawiając y₁(x) = e^λx do równania λe^λx−e^λx=0 (λ−1)e^λx = 0 (λ−1)=0 λ=1 Zatem rozwiązanie równania jednorodnego wygląda następująco y = Ce^x λ = i ≠ 1 więc jako rozwiązanie szczególne przewidujesz y_s(x) = (Ax+B)cos(x)+(Cx+D)sin(x) y_s'(x) = Acos(x)−(Ax+B)sin(x)+Csin(x)+(Cx+D)cos(x) y_s'(x) = (Cx+A+D)cos(x)+(C−B−Ax)sin(x) y_s'(x)−y(x) = (Cx+A+D−Ax−B)cos(x)+(C−B−Ax−Cx−D)sin(x) −A+C = 0 A−B+D = 0 −A−C = 1 −B+C−D =0 C = A −2A = 1 A−B+D = 0 A−B−D =0 C = A −2A = 1 2A − B + D = 0 2A − B − D = 0 C = A −2A = 1 −B+D = 1 −B−D = 1 C = A −2A = 1 −2B=2 2D = 0

	1
A = −
	2

B=−1

	1
C = −
	2

D = 0

	1		1
ys = −		(x+1)cos(x)−		xsin(x)
	2		2

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego

	1		1
y(x) = Cex −		(x+1)cos(x)−		xsin(x)
	2		2

Procedura nr 4 Metoda operatorowa Niech F(s) = ∫₀^∞f(t)e^−stdt ∫₀^∞y'(x)e^−sxdx = y(x)e^−sx|₀^∞−∫₀^∞y(x)(−se^−sx)dx ∫₀^∞y'(x)e^−sxdx = 0 − y(0⁺) +s∫₀^∞y(x)e^−sx ∫₀^∞y'(x)e^−sxdx = −y(0⁺) + sY(s)

	d
F'(s) =		∫0∞f(x)e−sxdx
	ds

	δ
F'(s) = ∫0∞		f(x)e−sxdx
	δs

F'(s) = −∫₀^∞xf(x)e^−sxdx

	d
∫0∞xf(x)e−sxdx = −		F(s)
	ds

	1
∫0∞sin(x)e−sxdt =		(Można policzyć np dwukrotnie całkując przez części)
	s2+1

	d	1
(−C+sY(s))−Y(s) = −
	ds	s2+1

	(−1)
−C+(s−1)Y(s) = −		*(2s)
	(s2+1)2

	2s
−C+(s−1)Y(s) =
	(s2+1)2

	2s
(s−1)Y(s) = C +
	(s2+1)2

	C		2s
Y(s) =		+
	s−1		(s−1)(s2+1)2

Tutaj można bawić się rozkładem na sumę ułamków prostych a można od razu z twierdzenia Borela o splocie y(x) = Ce^x + ∫₀^x(tsin(t))e^x−tdt y(x) = Ce^x + e^x∫₀^xtsin(t)e^−tdt Całkę ∫₀^xtsin(t)e^−tdt można policzyć przez części