Zbadaj zbieżność ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie: Althea: Zbadaj zbieżność ciągu (w_n)_n≥1 zdefiniowanego rekurencyjnie: w₁ = 0

	3wn+1
wn+1 =
	5

wredulus_pospolitus: A jak mieliście to na zajęciach? Ja bym do tego podszedł w ten sposób: 1. Na kartce 'na brudno' sprawdzam jaka by była granica jeżeli byłby to ciąg zbieżny. 2. zauważam, że jest to ciąg monotoniczny 3. przechodzę na kartę 'na czysto' i zaczynam od: wykazuję, że jeżeli x_n < 1/2 to x_n+1 < 1/2 4. przechodzę do monotoniczności:

	3wn + 1		1 − 2wn		1 − 2*(1/2)
wn+1 − wn =		− wn =		>		= 0
	5		5		5

5. wiemy, że ciąg jest monotoniczny ... wiemy że jest ograniczony 'z góry' przez M = 1/2 ... związku z tym jest zbieżny

jc:

	3
wn+1 − 5/2 =		(wn − 5/2)
	5

w₁=0

	5		3		5		3		5
wn −		= (		)n−1 (w1 −		) = − (		)n−1
	2		5		2		5		2

Dlatego

	5		3		5		5
wn =		− (		)n−1		→
	2		5		2		2

wredulus_pospolitus: @jc ... błędnie zapisałeś pierwsze równanie '1' jest w liczniku, a nie poza ułamkiem

jc: Faktycznie coś pomyliłem. Równanie

	3wn + 1
wn+1 =
	5

można zapisać równoważnie w postaci

	1		3		1
wn+1 −		=		(wn −		)
	2		5		2

Stąd

	1		1		3		1		3
wn−		= (w1−		)(		)n−1 = −		(		)n−1
	2		2		5		2		5

czyli

	1		3		1
wn =		(1 − (		)n−1) →
	2		5		2