Korzystajac z wzoru Borela wyznacz funkcje ktorych transformaty dane sa wzorami Koniek: Korzystajac z wzoru Borela wyznacz funkcje ktorych transformaty dane sa wzorami

1
(s−1)2(s+2)

Mariusz: Z wzoru Borela ? ∫₀^tf(τ)g(t−τ)dτ ∫₀^te^τe^t−τdτ ∫₀^te^tdτ e^t∫₀^tdτ =te^t ∫₀^tτe^τe^−2(t−τ)dτ ∫₀^tτe^−2t+2τ+τdτ ∫₀^tτe^−2t+3τdτ e^−2t(∫₀^tτe^3τdτ)

	1		1
e−2t(		τe3τ|0t −		∫0te3τdτ)
	3		3

	1		1
e−2t(		te3t −		∫0te3τdτ)
	3		3

	1		1
e−2t(		te3t −		e3τ|0t)
	3		9

	1		1
e−2t(		te3t −		(e3t − 1))
	3		9

	1		1		1
e−2t(		te3t −		e3t +		)
	3		9		9

	1		1
e−2t(		+		(3t−1)e3t)
	9		9

1		1
	e−2t +		(3t − 1)et
9		9

A teraz dla sprawdzenia rozłóżmy tę transformatę na sumę ułamków prostych

1		A		B		C
	=		+		+
(s−1)2(s+2)		s−1		(s−1)2		s+2

A(s−1)(s+2) + B(s+2)+C(s−1)² = 1 A(s²+s−2)+B(s+2)+C(s²−2s+1) = 1 A + C = 0 A+B−2C = 0 −2A+2B +C = 1 C = −A 3A+B = 0 −3A+2B = 1 C = −A B = −3A −9A = 1

	1
A = −
	9

	1
B =
	3

	1
C =
	9

1		1	1		1	1		1	1
	= −			+			+
(s−1)2(s+2)		9	s−1		3	(s−1)2		9	s−(−2)

	1		1		1
f(t)= −		et+		tet +		e−2t
	9		3		9