zadanie nadzieja: Rozwiaz równanie rózniczkowe a) y' = 2x + 3y + 1 czy moglby ktos pokazac jak to sie robi? Bo nie rozumiem informacji z wykladu, moze dlatego ze juz dzisiaj duzo robilam a musze to szybko ogarnac

jc: u = 2x+3y+1 u' = 2 + 3y' = 2 + 3 (2x+3y +1) = 3u + 2 i masz do rozwiązania równanie u' = 3u + 2

nadzieja: a jak rozwiazac to rownanie? Bo 1 czesc rozumiem

jc: Mamy proste rozwiązanie stałe: u=−2/3 Do tego możesz dodać dowolne rozwiązanie równania: v' = 3v, czyli v=Ce^3x. Masz więc: u=−2/3 + Ce^3x.

nadzieja: a czemu −2/3? Bo ja nie rozumiem na czym to polega wszystko

jc: bo (−2/3)' =0 i 3*(−2/3) + 2=0

Mariusz: y' = 2x + 3y + 1 Masz dwie możliwości Podstawić u = 2x+3y+1 tak jak to proponuje jc i otrzymać równanie o rozdzielonych zmiennych albo potraktować to równanie jako liniowe i rozwiązać je np uzmienniając stałą y' = 2x + 3y + 1 y' − 3y = 2x + 1 Równanie jest postaci y' + p(x)y = q(x) jest zatem liniowe pierwszego rzędu Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne y' − 3y = 0 Zauważmy że w tym równaniu możemy rozdzielić zmienne y' − 3y = 0 y' = 3y

y'
	= 3
y

dy
	= 3dx
y

ln|y| = 3x+C₁ |y| = C₂e^3x y = ±C₂e^3x y = C₃e^3x Znaleźliśmy całkę ogólną równania jednorodnego aby znaleźć całkę szczególną równania niejednorodnego uzmienniamy stałą y(x) = C(x)e^3x Wstawmy tę postać rozwiązania do równania niejednorodnego y' − 3y = 2x + 1 C'(x)e^3x+3C(x)e^3x − 3C(x)e^3x = 2x + 1 C'(x)e^3x = 2x + 1 C'(x) = (2x + 1)e^−3x Scałkujmy obustronnie powyższe równanie Aby policzyć całkę po prawej stronie równania zastosujmy całkowanie przez części

	1		2
∫(2x + 1)e−3xdx = −		(2x+1)e−3x +		∫e−3xdx
	3		3

	1		2
∫(2x + 1)e−3xdx = −		(2x+1)e−3x −		e−3x
	3		9

	1
∫(2x + 1)e−3xdx = −		(6x+5)e−3x
	9

	1
C(x) = −		(6x+5)e−3x
	9

Zatem całką szczególną równania niejednorodnego jest

	1
ys(x) = −		(6x+5)e−3x*e3x
	9

	1
ys(x) = −		(6x+5)
	9

Całka ogólna równania niejednorodnego będzie sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego

	1
y(x) = Ce3x−		(6x+5)
	9