. dfx: Rozwiązać równania różniczkowe: (metoda przewidywań): y'+3y=e^7x Wychodzi mi y=c*e^−3x+e^7x, kiedy powinno wyjść y=c*e^−3x+(e^7x/10), gdzie robię błąd?

jc: e^7x nie jest rozwiązaniem równania niejednorodnego. Podstaw ke^7x i dobierz k tak, aby to było rozwiązanie.

etna: Najpierw rozwiązujesz y'+3y=0

	dy
Stąd		=−3y
	dx

rozwiązanie y=c e^−3x Teraz uzmienniasz stałą y = c(x) e^−3x i obliczasz y'=c'(x) e^−3x − 3c(x) e^−3x Po podstawieniu do równania tematowego i wykonaniu uproszczeń otrzymasz: c'(x) = e^10x Aby obliczyć c(x) całkujesz obustronnie stosując podstawienie t=10x właśnie tutaj robisz błąd ∫c'(x) dx = ∫ e^10x dx

	1
c(x) =		e10x+ c1
	10

Po wstawieniu za c(x) i wymnożeniu przez e^−3x masz wynik:

	1
y=c e−3x +		e7x
	10

(formalnie powinno być c1, ale w zapisie wyniku nie ma to znaczenia i ładniej wygląda c)

etna: W metodzie przewidywań zakładam, że 1) y = a e^7x albo 2) y = ax e^7x Rozważam 1) 1) y = a e^7x stąd y' = 7a e^7x podstawiam do równania tematowego y'+3y = e^7x 7a e^7x +3a e^7x = e^7x

	1
stąd a =
	10

więc

	1
y = c e−3x +		e7x
	10

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Drugi przypadek 2) daje sprzeczność

etna: Można też przewidywać rozwiązanie w postaci: y = (ax + b) e^7x Potem policzyć y' i podstawić do równania tematowego.

	1
Po wykonaniu uproszczeń i rozwiązaniu otrzymasz a = 0 i b =
	10

... Wynik bez zmian.