obliczyć objętośći brył ograniczonych powierzchniami: rutek: obliczyć objętośći brył ograniczonych powierzchniami: 2z=x² + y², y+z=4 wynik to 81π/4

jc: Niedawno podałem rozwiązanie, ale w każdym wpisie był jakiś drobny błąd. Zapewne chodzi o obszar

x2+y2
	≤ z ≤ 4−y
2

Będziemy liczyć całkę z funkcji

	x2+y2		9−x2−(y+1)2
(4−y) −		=
	2		2

po obszarze D:

x2+y2
	≤ 4−y
2

czyli po kole x²+(y+1)² ≤ 9 Parametryzacja koła: x=r cos β, y = −1 + r sin β, 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ β ≤ 2π.

	9−x2−(y+1)2		9 − r2
Objętość = ∫∫D		dx dy = ∫02π dβ ∫03		r dr
	2		2

	1		9		1		81
= 2π		[		r2 −		r4]03 =		π
	2		2		4		4

rutek: wszystko rozumiem poza jednym przejsciem bo widze ze jest te rownanie okregu w funkcji na jakiej podstawie mozna wywnioskowac iz wlasnie do tego chcemy dazyc? chodzi mi o sam fakt rozumienia przejscia bo policzyc to potrafie (jestes wielki stary siedzialem nad tym 2h)

jc: Bryła jest określona nierównością dół(x,y) ≤ z ≤ góra(x,y) Stąd dół(x,y) ≤ góra(x,y) i jest to jedyne ograniczenie na obszar całkowania (w tym zadaniu). Całkujesz funkcję góra(x,y)−dół(x,y).