limit funkcji rekurencyjnej sznicla: Poniższa funkcja zwraca przybliżenie liczby √5. F(n) r = 2.0 for i = 1 to n do r = (2r+5)/(r+2) return r Uzasadnij, że lim n→inf F(n) = √5 czyli F(n+1)=(2F(n)+5)/(F(n)+2) Niestety nie potrafię znaleźć rozwiązania. Moje poprzednie próby opierały się na indukcyjnym udowodnieniu zbieżności oraz monotoniczności oraz rozwiązaniu równania charakterystycznego dla √5 tej funkcji ale, dowiedziałem się że jedynym akceptowalnym sposobem rozwiązania jest podzielenie ciągu na dwa podciągi oraz wykorzystanie twierdzenia "Ciąg którego wszystkie podciągi są zbieżne do pewnej wartości jest zbieżny do tej wartości", I tutaj sedno mojego problemu bo nie mam pojęcia na jakie podciągi to podzielić.

jc:

	2r+5		1
f(r)=		=2+
	r+2		r+2

r > 0 ⇒ f(r) > 0

	|r−s|		|r−s|
r, s > 0 ⇒ |f(r) − f(s)| =		<
	(r+2)(s+2)		4

Mamy więc odwzorowanie zwężające i dla każdego dodatniego a ciąg a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))) ... jest zbieżny do punktu stałego f. f(r)=r, z dwóch rozwiązań wybieramy dodatnie, czyli √5.

jc: Wydaje mi się, że mamy taki wzór nierekurencyjny: r₀=2

	2−√5
rn = √5 + (2−√5)(		)n
	2+√5

Ze wzoru wynika, że ciąg jest zbieżny zygzakiem do √5.

sznicla: Dziękuje za pomoc, należało podzielić na podciąg wartości parzystych i nieparzystych dążących do √5 odpowiednio z dołu i góry.