Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią Koniek: Oblicz objetosc bryly ograniczonej powierzchnią 2z=x²+y², y+z=4 Pomoze ktos nie mam pomyslu

.: Przeca to ścięty stożek bedzie Najlepiej zrób to za pomocą calki

Koniek: Tak ale w jaki sposob

Kacper: https://www.matemaks.pl/objetosc-bryly-ograniczonej-powierzchniami.html Polecam poczytać

Koniek: Obliczylem wedlug tego i wychodzi mi 15pi/4 a powinno 81pi/4 i nie wiem co jest zle

wredulus_pospolitus: \pokaż obliczenia

Koniek: 2z=x²+y², ⇒ z=1/2(x²+y²) y+z=4 ⇒ z=4−y Przyrównuje do siebie oba i wychodzi mi koło o promieniu r=3 i środku w punkcie (0,−1) Odejmuje od siebie (4−y)−(1/2(x²+y²) wychodzi 4−y−1/2(x²+y²) Obszar D to koło o promieniu 3 wiec wykonuje podstawienie x=rcosδ y=rsinδ 0≤r≤3 0≤δ≤2π Liczę najpierw całke po dr wczesniej podstawiajac odpowiednio

	1
∫∫(4−r sinδ−		(r2 cosδ2 + r2 sinδ2) rdr dδ
	2

Wychodzi z tego

	15		9sinδ
∫		−		dδ
	8		2

Z tego wychodzi natomiast Wlasnie te 15π/4

wredulus_pospolitus: 1. taka uwaga nie sinδ² tylko sin²δ analogicznie z cosinusem 2.

	r2sinδ		r3		12*2		9		9sinδ
∫ [ 4r −		−		]03 dδ = ∫		−		−		dδ =
	2		6		2		2		2

	15		9sinδ
= ∫		−		dδ
	2		2

Koniek: No ale tutaj nadal wychodzi i tak 15pi a nie te 81pi/4

jc: Czy chodzi o obszar x²+y² ≤ 2z ≤ 2(4−y)? Jeśli tak, to mamy x²+y² ≤ 8 − 2y x² + (y+1)² ≤ 9 x = r cos β y = −1 + r sin β 0 ≤ β ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 3 Objętość = ∫∫ (9 − x² − (y+1)² ) dx dy = ∫dβ ∫(9 − r²) rdr = 2π [9r²/2 − r⁴/4]₀³ = 81π/4

Koniek: Ale tutaj wychodzi 81π/2

jc: Wychodzi 81π/2. Mała pomyłka w ostatnim kroku. = 2π[9r²/2 − r⁴/4]₀³ = 2π*81/4 = 81π/2

jc: Poprawiony rachunek:

x2+y2
	≤ z ≤ 4−y
2

x²+y² ≤ 8 − 2y x² + (y+1)² ≤ 9 x = r cos β y = −1 + r sin β 0 ≤ β ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 3

	1
Objętość =		∫∫ (9 − x2 − (y+1)2 ) dx
	2

	1
=		* 2π * [9r2/2 − r4/4]03 = 81π/4
	2

Zapomniałem, że zamiast z, stało 2z, wiec, aby mieć z, należało podzielić przez 2.

: https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=101850&sid=6e6e43c5d67ba432b429c90a65ccfbc7

jc: Rozwiązanie podane na forum.zadania.info jest błędne. W takim razie uzupełnię rachunek szczegółami.

x2+y2
	≤ z ≤ 4 − y.
2

	x2+y2		9−x2−(y+1)2
Góra − dół = (4−y) −		=
	2		2

Poniżej D jest kołem o środku w punkcie (0, −1) i promieniu 3. Parametryzacja koła: x=r cos β, y= −1 + r sin β, 0≤β≤2π, 0≤ r ≤ 3.

	9−x2−(y+1)2
Objętość = ∫∫D		dx dy
	2

	9 − r2		1		9		1
= ∫02π dβ ∫03		r dr = 2π *		[		r2 −		r4]03
	2		2		2		4

	81
=
	4π