ekstremum doniczka: Wyznacz ekstrema funkcji f(x, y) = 2x³ + y³ − 6x − 12y,

wredulus_pospolitus: I problem polega na

doniczka: nie jestem pewien jak to zrobic w przypadku f(x,y)

doniczka: bo normalnie sie liczylo pochodna po prostu

wredulus_pospolitus: dla funkcji dwóch zmiennych jest odpowiednia 'procedura' ... na pewno była podana na wykładach ... przeszukaj notatki.

doniczka: ale czy tu chodzi o ekstremum lokalne?

.: Z całą pewnością o lokalne, globalne nie istnieją co powinno być oczywiste już na pierwszy rzut oka.

doniczka: zaraz wrzuce moje rozwiazanie i prosze o rzucenie okiem jesli ktos ma czas

doniczka: bo znalazlem rozwiazanie tego przykladu ale zastanawiam sie nad f(x,y) = x³ + 1 fx' (x,y) = 3x² fy' (x,y) = 0 Δ(odwrocony) f(x,y) = (3x² , 0) (0,0) = (3x² , 0) x =0 , 0=0 Czyli y jest dowolne? Czy jak to zapisac i jak to brac to nastepnych obliczen bo przeciez musze skleic macierz

.: Jak to jak f'_x = 3x² f'_y = 0 Dajesz drugie pochodne i masz macierz z trzema 0

.: W sumie to z czterema

wredulus_pospolitus: Kolejną sprawą jest to, że f(x) = 3x³ + 1 nie posiada ekstremum, więc jak f(x,y) = 3x³ + 1 może takowe posiadać

wredulus_pospolitus: I jeszcze kolejna sprawa. Jeżeli mamy funkcję n zmiennych, a w funkcji występuje tylko n−1 zmiennych, to taka funkcja NIE MA PRAWA posiadać ekstremum ... dlaczego ... ponieważ jeżeli nawet 'bliźniacza' funkcja n−1 zmiennych by takowe ekstremum posiadała, to wyjściowa funkcja w tym momencie nie ma punktu ekstremalnego tylko prostą 'ekstremalną' co oznacza że nie ma punktu. Chodzi mi o np. f(x) = x² posiada ekstremum w x=0 Ale f(x,y) = x² NIE POSIADA ekstremum lokalnego ... ponieważ dowolny punktu na prostej x=0 przyjmuje dokładnie taką samą wartość.

doniczka: Wyznacz ekstrema funkcji (chce miec to poprawnie zapisane) f(x,y) = x³ + 1 fx' (x,y) = 3x² fy' (x,y) = 0 Δ(odwrocony) f(x,y) = (3x² , 0) (0,0) = (3x2 , 0) x=0 y=0 f'' xx (x,y) = 6x f''xy(x,y) = 0 f''yx (x,y) = 0 f''yy(x,y) = 0 Hf (0,0) = [0 0 ] [0 0] i det = 0 co dalej? i czy dobrze napisalem?

wredulus_pospolitus: I co mówi nam 'procedura' w momencie gdy wyznacznik równy 0 Piszesz taki wniosek i koniec zadania. Albo piszesz uzasadnienie które wcześniej pisałem ... pokazując, że funkcja f(x) = x³ + 1 nie posiada ekstremum to także f(x,y) = x³+1 nie może posiadać ekstremum

doniczka: a bo det = 0 to macierz nie okreslona tak? czyli nie ma ekstrmow. Czy ten zapis co podalem jest ok? Czy jesli 0=0 to mozemy wsgtawiac ze y=0?

wredulus_pospolitus: nie ... tak naprawdę powinieneś zrobić nieskończenie wiele macierzy, bo masz nieskończenie wiele punktów podejrzanych o bycie ekstremami ... są to punkty (0,k) gdzie k ∊ R. jednak dla każdego z tych punktów ów macierz będzie wyglądać dokładnie tak samo ze względu na to, że jedynie f''_xx nie jest pochodną równą zero, ale że wstawiamy zawsze x=0, to mamy zawsze to co mamy.

doniczka: czyli jak dopisze przy 0=0 y − dowolne i tam potem sie nie uzywa w macierzy y i sa 4 zera to juz jest wszystko ok i det = 0 i brak estremow

wredulus_pospolitus: nie brak ekstremów, tylko .... metoda NIE ROZSTRZYGA fakt, że nie będzie ekstremów wynika z rozumowania nie związanego z metodą poszukiwań ekstremów, która może dodać ... ale nie musisz.

Gustlik: Polecam to przeczytać, jest bardzo ładnie wyjaśnione: https://www.matemaks.pl/ekstrema-lokalne-funkcji-dwoch-zmiennych.html