Kolejne maturalne
Qi Pa :
Liczby dodatnie
Znajdz dodatnie liczby x1,x2,x3.....xn spełniające układ n równań
(x1+x2+....,+xk)(xk+xk+1+....+xn)=1 (k=1,2,3,4,.......,n) dla
a)n=2
b)n=3
c)n=4
d)n=10
W miare możliwości prosze o wytłumaczenie dlaczego takie równania . Dziękuję bardzo
10 maj 21:04
wredulus_pospolitus:
ma to być spełnione dla każdego 1 ≤ k ≤ n
10 maj 22:21
Mi Ka:
Nie ma w treści takiego warunku.
10 maj 22:23
wredulus_pospolitus:
no to popatrzmy:
(a) n = 2
| | 1 | |
x1*x2 = 1 ∧ x1+x2 = 1 −−−> x1 + |
| = 1 −−−> x12 − x1 + 1 = 0 −−−> brak |
| | x1 | |
rozw.
10 maj 22:24
wredulus_pospolitus:
Jest w treści: "spełniające układ
n równań"
10 maj 22:25
wredulus_pospolitus:
(b) n = 3
(x1 + x2)*x3 = 1 ∧ x1*(x2+x3) = 1 trzeciego równania na razie nie piszę
z tych dwóch równań mamy: x2*x3 = x1*x2 −−−> x1 = x3
trzecie równania: x1 + x2 + x3 = 1 −−−> x2 = 1 − 2x1
podstawiamy do jednego z pierwszych równań (x = x1 dla prostoty zapisu)
(x + 1−2x)*x = 1 −−−> −x2 + x − 1 = 0 −−−> x2 − x + 1 = 0 −−−> brak rozwiązań (i dostaliśmy
takie samo równanie na x1 co wcześniej)
10 maj 22:28
10 maj 22:33
wredulus_pospolitus:
(c) n = 4
x
1*(x
2+x
3+x
4) = 1 ∧ (x
1+x
2)*(x
3+x
4) = 1 z tych dwóch równań mamy:
x
1*x
2 = x
2*(x
3+x
4) −−−> x
1 = x
3 + x
4
(x
1 + x
2)*(x
3 + x
4) = 1 ∧ (x
1 + x
2 + x
3)*x
4 = 1 a z tych dwóch równań mamy:
(x
1+x
2)*x
3 = x
3*x
4 −−−> x
1 + x
2 = x
4
co także daje nam (patrząc na poprzedni warunek) x
2 = −x
3 co daje nam brak rozwiązań (bo
mają być DODATNIE
)
10 maj 22:38
wredulus_pospolitus:
No to mówię ... pisze jak wół że n równań ma spełniać ... czyli dla każdego k musi być to
spełnione.
10 maj 22:39
wredulus_pospolitus:
n = 10 ... eeeeeehhh
x1*(x2+....+x10) = (x1+x2)*(x3+....+x10) −−−> x1 = x3+...+x10
(x1+x2)*(x3+....+x10) = (x1+x2+x3)*(x4+....+x10) −−−> x1+x2 = x4+...+x10
< x3+x4+...+x10 = x1
brak rozwiązań.
I w sumie chyba tak trzeba było od początku robić.
10 maj 22:44
Mi Ka:
Zostawmy to na razie wredulus do jutra.
Zobacze może jest jakis szkic rozwiązania
10 maj 22:44
wredulus_pospolitus:
ale tutaj nie ma co czekać ... nie ma takich liczb (dodatnich) aby to było spełnione.
10 maj 22:50
Mi Ka:
Mam tak .
Dla n=2
{x
1*(x
1+x
2)=1
{(x
1+x
2)*x
2=1
| | x1 | |
dzielimy stronami i otrzymujemy |
| =1 to x1=x−2 |
| | x2 | |
{x
1(2x
1)=1
{2x
1*x
1=1
| | 1 | | 1 | | √2 | |
2x12=1 x12= |
| x1= |
| = |
| =x2 |
| | 2 | | √2 | | 2 | |
11 maj 00:03
wredulus_pospolitus:
aaaaa ... to zmienia postać rzeczy
11 maj 00:08