rozwiąż równanie rekurencyjne niejednorodne: li: a_n = 2a_n−1 + 4a_n−2 − 8a_n−3 + 4 ∙ 2ⁿ z warunkami początkowymi 𝑎₀ = 0, 𝑎₁ = 8, 𝑎₂ = 8.

Mila: (*) a_n=2a_n−1+4a_n−2}−8a_n−2+4*2ⁿ a_n −2a_n−1−4a_n−2+ 8a_n−3 =0 1) R. charakterystyczne x³−2x²−4x+8=0 x²(x−2)−4(x−2)=0 (x−2)*(x²−4)=0 x=2 podwójny , x=−2 2) a₃=80 a_n⁽1)=A*(−2)ⁿ+B*2ⁿ+C*n*2ⁿ a_n²=D*n²*2ⁿ a_n=A*(−2)ⁿ+B*2ⁿ+C*n*2ⁿ+D*n²*2ⁿ 3) Z warunków początkowych: a₀=0=A+B a₁=8=−2A+2B+2C+2D a₂=8=4A+4B+8C+16D a₃=80=−8A+8B+24C+72D A=−2, B=2,C=−1,D=1 ================ 4) a_n=−2*(−2)ⁿ+2*2ⁿ−n*2ⁿ+n²*2ⁿ sprawdź rachunki

li: skąd wziąć wzór na a_n⁽²⁾?

Mila: W równaniu: a_n=......+f(n) f(n)=4*2ⁿ − niejednorodna część równania 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem r. charakterystycznego stąd przewidywana postać : a_n⁽²⁾=D*n^k*2ⁿ, k=2

Mariusz: a_n = 2a_n−1 + 4a_n−2 − 8a_n−3 + 4 ∙ 2ⁿ a₀ = 0, a₁ = 8 , a₂ = 8 Funkcje tworzące nie dość że są wygodniejsze to jeszcze więcej równań pozwalają rozwiązać Do rozwiązywania równań rekurencyjnych stosuje się głównie dwie funkcje tworzące (zwykła funkcja tworząca bądź wykładnicza funkcja tworząca) Zwykła funkcja tworząca dla ciągu jedynek daje szereg geometryczny Wykładnicza funkcja tworząca dla ciągu jedynek daje funkcję wykładniczą Jeżeli funkcji tworzącej używamy do rozwiązywania równań rekurencyjnych to zwykle nie dbamy o to jaki jest przedział zbieżności ważne aby był niezerowy a_n = 2a_n−1 + 4a_n−2 − 8a_n−3 + 4 ∙ 2ⁿ a₀ = 0, a₁ = 8 , a₂ = 8 Tutaj mamy równanie rekurencyjne liniowe o stałych współczynnikach więc wystarczy nam zwykła funkcja tworząca Dla równania liniowego o stałych współczynnikach funkcja tworząca będzie funkcją wymierną a więc da się ją rozłożyć na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych Definiujemy funkcję tworzącą A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ Rekurencja zachodzi dla n ≥ 3 więc wstawiając szereg do równania rekurencyjnego zaczynamy go indeksować od n=3 a_n = 2a_n−1 + 4a_n−2 − 8a_n−3 + 4 ∙ 2ⁿ a₀ = 0, a₁ = 8 , a₂ = 8 ∑_n=3^∞a_nxⁿ = ∑_n=3^∞(2a_n−1 + 4a_n−2 − 8a_n−3 + 4 ∙ 2ⁿ)xⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ = 2(∑_n=3^∞a_n−1xⁿ)+4(∑_n=3^∞a_n−2xⁿ) −8(∑_n=3^∞a_n−3xⁿ) + 4(∑_n=3^∞2ⁿxⁿ) ∑_n=3^∞a_nxⁿ = 2x(∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+4x²(∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻²)

	8x3
−8x3(∑n=3∞an−3xn−3) + 4*
	1−2x

∑_n=3^∞a_nxⁿ = 2x(∑_n=2^∞a_nxⁿ)+4x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ)

	8x3
−8x3(∑n=0∞anxn) + 4*
	1−2x

∑_n=0^∞a_nxⁿ − 0 − 8x −8x² = 2x(∑_n=0^∞a_nxⁿ− 0 −8x)+ 4x²(∑_n=0^∞a_n−0)−8x³(∑_n=0^∞a_nxⁿ)

	32x3
+
	1−2x

	32x3
(1−2x−4x2+8x3)(∑n=0∞anxn) = 8x+8x2−16x2 +
	(1−2x)

	32x3
(1−2x−4x2+8x3)A(x) = 8x − 8x2 +
	1−2x

	(8x−8x2)(1−2x)+32x3
(1−2x−4x2+8x3)A(x) =
	1−2x

	8x−8x2−16x2+16x3+32x3
(1−2x−4x2(1−2x))A(x) =
	1−2x

	8x − 24x2+48x3
(1−2x)(1−4x2)A(x) =
	1−2x

	8x − 24x2+48x3
(1−2x)2(1+2x)A(x) =
	1−2x

	8x − 24x2+48x3
A(x) =
	(1−2x)3(1+2x)

8x − 24x2+48x3		A		B		C		D
	=		+		+		+
(1−2x)3(1+2x)		1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3		1+2x

8x − 24x²+48x³ = A(1−2x)²(1+2x)+B(1−2x)(1+2x)+C(1+2x)+D(1−2x)³ 8x − 24x²+48x³ = A(1−2x)(1−4x²)+B(1−4x²)+C(1+2x)+D(1−6x+12x²−8x³) 8x − 24x²+48x³ = A(1−2x−4x²+8x³)+B(1−4x²)+C(1+2x)+D(1−6x+12x²−8x³) A + B + C+D = 0 −2A + +2C −6D = 8 −4A − 4B +12D = −24 8A−8D = 48 A + B + C+D = 0 −2A + +2C −6D = 8 −4A − 4B +12D = −24 A − 6 = D A + B + C+ (A − 6) = 0 A − C + 3(A − 6) = −4 A +B −3(A−6) = 6 A − 6 = D 2A + B + C = 6 4A − C = 14 −2A+B = −12 A − 6 = D 2A+B+C = 6 4A−14 = C 2A−12 = B A − 6 = D 2A + (2A−12)+(4A−14) = 6 2A−12 = B 4A−14 = C A − 6 = D 8A −26 = 6 2A−12 = B 4A−14 = C A − 6 = D 8A = 32 2A−12 = B 4A−14 = C A − 6 = D A = 4 B = −4 C = 2 D = −2

8x − 24x2+48x3		A		B		C		D
	=		+		+		+
(1−2x)3(1+2x)		1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3		1+2x

8x − 24x2+48x3		4		4		2		2
	=		−		+		−
(1−2x)3(1+2x)		1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3		1+2x

	1
Teraz aby rozwinąć w szereg ułamek
	(1−ax)k

mamy co najmniej trzy możliwości 1. Zróżniczkować k−1 krotnie szereg geometryczny 2. Skorzystać z uogólnionego dwumianu Newtona

	r n		r n		r(r−1)*..*(r−(n−1))
(1+x)r = ∑n=0∞		xn przy czym		=
					n!

3. Skorzystać ze splotu ciągów (a*b) = ∑_k=0ⁿa_kb_n−k

	1
∑n=0∞2nxn =
	1−2x

d		d		1
	(∑n=0∞2nxn) =		(		)
dx		dx		1−2x

	1
∑n=0∞n*2nxn−1 = −		*(−2)
	(1−2x)2

	2
∑n=1∞n*2nxn−1 =
	(1−2x)2

	2
∑n=0∞(n+1)*2n+1xn =
	(1−2x)2

	1
∑n=0∞(n+1)*2nxn =
	(1−2x)2

d		d	1
	(∑n=0∞(n+1)*2nxn) =
dx		dx	(1−2x)2

	2
∑n=0∞(n+1)*n*2nxn−1 = −		(−2)
	(1−2x)3

	2*2
∑n=1∞(n+1)*n*2nxn−1 =
	(1−2x)3

	2*2
∑n=0∞(n+2)*(n+1)*2n+1xn =
	(1−2x)3

	2
∑n=0∞(n+2)*(n+1)*2nxn =
	(1−2x)3

8x − 24x2+48x3		4		4		2		2
	=		−		+		−
(1−2x)3(1+2x)		1−2x		(1−2x)2		(1−2x)3		1+2x

8x − 24x2+48x3
	= 4*(∑n=0∞2nxn)−4(∑n=0∞(n+1)*2nxn)
(1−2x)3(1+2x)

+ (∑_n=0^∞(n+2)*(n+1)*2ⁿxⁿ) − 2(∑_n=0^∞(−2)ⁿxⁿ) A(x) = ∑_n=0^∞((4−4(n+1)+(n+1)(n+2))*2ⁿ−2*(−2)ⁿ)*xⁿ A(x) = ∑_n=0^∞((n²−n+2)*2ⁿ−2*(−2)ⁿ)*xⁿ a_n = (n²−n+2)*2ⁿ−2*(−2)ⁿ