równanie trygonometryczne Magdaa_00: Równanie trygonometryczne: 4 cos 2𝑥 cos 5𝑥 = 2 cos 7𝑥 + 1 wyszło mi x= −π/9 −2/3πk lub x=π/9 − 2/3πk czy jest ok?

wredulus_pospolitus:

	2
tak ... tylko zwykło się pisać +		kπ a nie −. Ale to tylko kwestia zapisu, która
	3

nie zmienia samego wyniku

mat3:

	π		2kπ
x= ±		+		, k∊ℤ
	9		3

mat3:

Mariusz: 4cos(2x)cos(5x) = 2cos(7x) + 1 4cos(2x)cos(5x) = 2(cos(2x)cos(5x) − sin(2x)sin(5x)) + 1 4cos(2x)cos(5x) = 2cos(2x)cos(5x) − 2sin(2x)sin(5x) + 1 4cos(2x)cos(5x) − 2cos(2x)cos(5x) = 1 − 2sin(2x)sin(5x) 2cos(2x)cos(5x) = 1−2sin(2x)sin(5x) 2cos(2x)cos(5x) + 2sin(2x)sin(5x) = 1 2(cos(5x)cos(2x) + sin(5x)sin(2x)) = 1

	1
cos(5x)cos(2x) + sin(5x)sin(2x) =
	2

	1
cos(5x−2x) =
	2

	1
cos(3x) =
	2

	π		π
3x =		+ 2kπ , k ∊ ℤ ⋁ 3x = −		+ 2kπ , k ∊ ℤ
	3		3

	π		2		π		2
x =		+		kπ , k ∊ ℤ ⋁ x = −		+		kπ , k ∊ ℤ
	9		3		9		3

Można też to równanie sprowadzić do równania wielomianowego korzystając z wielomianu T_n(x) takiego że T_n(cos(x)) = cos(nx) Ostatnio wyprowadziłem a następnie rozwiązałem równanie różniczkowe na te wielomiany co dało mi postać ogólną

	(−1)k		n		n−k k
Tn(x) = cn(xn + ∑k=1floor(n/2)		*		*		*(2x)n−2k)
	2n		n−k

gdzie c_n można obliczyć z warunku T_n(1) = 1 co daje nam do policzenia sumę

	(−1)k		n		n−k k
1+∑k=1floor(n/2)		*		*
	4k		n−k

i ta suma będzie odwrotnością współczynnika wiodącego (Wyłączyłem pierwszy składnik przed znak sumy dla zapewnienia poprawności wzoru dla n=0)