Równanie
Marysia: Czy ktoś może pomóc mi rozwiązać to równanie?
−x3 +5x2 − 3x +9 = 0
30 kwi 09:37
ABC z roboty:
na jakim poziomie ? na studiach to wzory Cardano czyli Mariusz
w szkole średniej metody przybliżone
30 kwi 10:01
Marysia: Szkoła średnia
30 kwi 19:35
oluśkostka: A jest dobrze przepisane?
30 kwi 19:43
Kacper: A może polecenie nie było rozwiąż? Tylko inne...
30 kwi 20:41
Eta:
Zgaduj− zgadula
30 kwi 20:51
Marysia: Polecenie: Oblicz współrzędne punktów wspólnych wykresu wielomianu W z prostą o równaniu 4x −
y−9=0.
W(x)= x3 − 5x2 + 7x
30 kwi 21:08
Eta:
y= 4x−9
to
x3−5x2+3x+9=0
(x+1)(x−3)2=0
...........
30 kwi 21:16
Eta:
@ Marysia
Masz błąd w znaku przed 9
30 kwi 21:24
Walkiria:
Trening czyni mistrza
Rozwiązałem kolejne równanie szścienne.wyjściowe
30 kwi 21:57
Marysia : dziękuję bardzo, zawsze te znaki...
30 kwi 22:03
Mariusz:
Gdyby jednak było
−x
3 +5x
2 − 3x +9 = 0
to równianie można rozwiązać sposobami ze szkoły średniej
−x
3 +5x
2 − 3x +9 = 0
x
3 − 5x
2 + 3x − 9 = 0
Na początku chcemy wyrugować wyraz z x
2
Stosujemy wzór skróconego mnożenia
Wiemy że (a+b)
3 = a
3+3a
2b+3ab
2+b
3
zatem nasze 3b = −5
(z porównania wzoru skróconego mnożenia na (a+b)
3 z wielomianem w równaniu)
| | 5 | | 5 | | 25 | | 125 | |
(x− |
| )3 = x3 − 3* |
| x2+3* |
| x− |
| |
| | 3 | | 3 | | 9 | | 27 | |
| | 5 | | 25 | | 125 | |
(x− |
| )3 = x3 − 5x2 + |
| x − |
| |
| | 3 | | 3 | | 27 | |
Jak widzimy dwa wyrazy wielomianu już się zgadzają
Teraz ile mamy za dużo tych x po rozwinięciu powyższego dwumianu ?
| | 5 | | 16 | | 5 | | 25 | | 125 | |
(x− |
| )3 − |
| (x − |
| ) = (x3 − 5x2 + |
| x − |
| ) − |
| | 3 | | 3 | | 3 | | 3 | | 27 | |
| | 5 | | 16 | | 5 | | 25 | | 125 | |
(x− |
| )3 − |
| (x − |
| ) = (x3 − 5x2 + |
| x − |
| ) |
| | 3 | | 3 | | 3 | | 3 | | 27 | |
| | 5 | | 16 | | 5 | | 115 | |
(x− |
| )3 − |
| (x − |
| ) = x3 −5x2+3x+ |
| |
| | 3 | | 3 | | 3 | | 27 | |
| | 115 | |
Teraz wyrazy wolne mamy |
| a chcemy mieć −9 |
| | 27 | |
| | 358 | |
więc odejmijmy stronami |
| |
| | 27 | |
| | 5 | | 16 | | 5 | | 358 | | 115 | | 358 | |
(x− |
| )3 − |
| (x − |
| ) − |
| = x3 −5x2+3x+ |
| − |
| |
| | 3 | | 3 | | 3 | | 27 | | 27 | | 27 | |
| | 5 | | 16 | | 5 | | 358 | |
(x− |
| )3 − |
| (x − |
| ) − |
| = x3 −5x2+3x − 9 |
| | 3 | | 3 | | 3 | | 27 | |
Mamy równanie trzeciego stopnia ale już bez wyrazu z y
2
Teraz przyjmujemy że rozwiązanie jest w postaci sumy dwóch składników
Pozwoli to nam znowu skorzystać z tego wzoru skróconego mnożenia na (a+b)
3
y = u + v
Wstawmy to do równania wielomianowego
| | 16 | | 358 | |
(u+v)3 − |
| (u+v) − |
| = 0 |
| | 3 | | 27 | |
| | 16 | | 358 | |
u3+3u2v+3uv2+v3 − |
| (u+v) − |
| = 0 |
| | 3 | | 27 | |
Teraz wyciągamy wspólny czynnik z wyrazów 3u
2v+3uv
2
| | 16 | | 358 | |
u3+3uv(u+v)+v3 − |
| (u+v) − |
| = 0 |
| | 3 | | 27 | |
| | 358 | | 16 | |
u3 + v3 − |
| + 3(u+v)(uv − |
| ) = 0 |
| | 27 | | 9 | |
Zapisujemy powyższe równanie w postaci układu równań
| | 16 | |
Teraz iloczyn (u+v)(uv − |
| ) będzie równy zero |
| | 9 | |
gdy co najmniej jeden z jego czynników będzie równy zero
ale my przyjęliśmy że y = u+v więc czynnika u+v nie przyrównujemy do zera
Powyższy układ równań bardzo przypomina wzory Vieta dla równania kwadratowego
| | 16 | |
Jeżeli podniesiemy obustronnie równanie uv = |
| |
| | 9 | |
do trzeciej potęgi to rzeczywiście dostaniemy wzory Vieta dla równania kwadratowego
o pierwiastkach u
3 oraz v
3 ale otrzymamy również rozwiązania obce
(te które nie są rozwiązaniem wyjściowego układu równań)
Równanie kwadratowe to
| | 358 | | 4096 | |
t2 − |
| t + |
| = 0 |
| | 27 | | 729 | |
| | 179 | | 4096 | | 32041 | |
(t − |
| )2 + |
| − |
| = 0 |
| | 27 | | 729 | | 729 | |
| | 179 | | 27945 | |
(t − |
| )2 − |
| = 0 |
| | 27 | | 729 | |
| | 179−√27945 | | 179+√27945 | |
(t − |
| )(t − |
| ) = 0 |
| | 27 | | 27 | |
Tutaj widzimy że wielomian nam się rozłożył ale
gdyby wyróżnik równania kwadratowego był ujemny to
musielibyśmy wrócić do tego równania trzeciego stopnia bez wyrazu z y
2
i skorzystać z trygonometrii (ze wzoru na cosinus (bądź sinus) kąta potrojonego
jeśli nie mamy go w tablicach to łatwo go wyprowadzić)
| | 179−√27945 | | 179+√27945 | |
Niech u3 = |
| oraz v3 = |
| |
| | 27 | | 27 | |
Po wzięciu pierwiastków trzeciego stopnia dobrze jest sprawdzić
czy para (u,v) spełnia układ równań
mamy wówczas
| | 1 | |
y = |
| (3√179−√27945 + 3√179+√27945) |
| | 3 | |
| | 5 | | 1 | |
x− |
| = |
| (3√179−√27945 + 3√179+√27945) |
| | 3 | | 3 | |
| | 1 | |
x = |
| (5 + 3√179−√27945 + 3√179+√27945) |
| | 3 | |
| | 1 | |
x = |
| (5 + 3√179−9√345 + 3√179+9√345) |
| | 3 | |
Znaleźliśmy jeden pierwiastek
| | 1 | |
x1 = |
| (5 + 3√179−9√345 + 3√179+9√345) |
| | 3 | |
Teraz aby sprawdzić czy istnieje więcej pierwiastków
należy podzielić wielomian x
3 − 5x
2 + 3x − 9
przez dwumian x−x
1
Obliczyć wyróżnik i jeśli jest nieujemny policzyć pozostałe pierwiastki
Jeżeli chcesz o tym sobie poczytać to proponuję
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf
5 maj 10:47
Mariusz:
"ABC z roboty:
na jakim poziomie ? na studiach to wzory Cardano czyli Mariusz"
Na poziomie szkoły średniej też można tylko trzeba się ograniczyć do rzeczywistych
Na poziomie studiów można by skorzystać z zespolonych i wtedy byłoby nieco łatwiej
ABC ty też to umiesz i przedstawiłbyś to lepiej niż ja bo nie jestem nauczycielem
5 maj 11:26
Mariusz:
Nie jestem nauczycielem ale jak już napiszę jakąś odpowiedź to staram się aby
ona była taką jaką ja chciałbym otrzymać
I nie jest tak że im krótsza odpowiedź tym lepsza , jakieś zawody robimy czy co ?
Co z tego że podamy krótką odpowiedź jak czytelnik nie będzie wiedział
np skąd poszczególne kroki się wzięły
5 maj 11:39