styczna kalafiorowa: Znajdz rownanie wspolnej stycznej do wykresu funkcji f(x)=x²+4x+8 oraz g(x)=x²+8x+4 mogłabym prosić o wytłumaczenie? chciałabym wiedzieć jak rozwiązywać tego typu zadania

Jack: Współczynnik a takiej stycznej w jakimś punkcie x₀ będzie równy pochodnej funkcji w tym punkcie x₀. Więc f'(x₀)=2x₀+4. Jednak ma to być również styczna do drugiej funkcji, więc g'(x₀)=2x₀+8. Żeby znaleźć ten punkt trzeba przyrównać obie pochodne. 2x₀+4=2x₀+8 4=8. sprzeczność. Zatem nie istnieje styczna wspólna dla obu tych funkcji. Warto sobie zrobić rysunek

Jack: poprawka, źle zrobiłem!

ak1: http://www.irek.edu.pl/matura/porady/porada_16.pdf

Jack: Ten punkt nie musi być przecież wspólny... Będzie to tak wyglądało: Punkt styczności do f(x) ma współrzędne (x₁,x₁²+4x¹+8), punkt styczności do g(x) ma współrzedne (x₂, x₂²+8x₂+4). Policzmy styczną do f(x) w punkcie x₁: y=f'(x₁)(x−x₁)+y₁, y=(2x₁+4)(x−x₁)+x²+4x₁+8 y=− x₁² +8+(2x₁+4)x Teraz to samo dla stycznej do g(x) w x₂: y=g'(x₂)(x−x₂)+y₂, y=(2x₂+8)(x−x₂)+x₂²+8x₂+4 y=−x₂²+4+(2x₂+8)x Skoro obie styczne są, de facto, tą samą styczną to: − x₁² +8=−x₂²+4 oraz 2x₁+4=2x₂+8 Trzeba rozwiazać taki układ. z 2. mamy: x₁=x₂+2, a podstawiając do 1. otrzymujemy: −(x₂+2)²+x₂²+4=0 x₂²−4x₂−4+x₂²+4=0 −4x₂=0 x₂=0 Teraz wracamy do równania z x₂. Mamy, że y= −x₂²+4+(2x₂+8)x, a po podstawieniu y=8x+4.

Jack: dokładnie tak.