Wykaż, że jeśli liczba naturalna n przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3... Jarek: Cześć Wszystkim. Rozwiązuje sobie zadania przed maturą. Zaciąłem się przy zadaniu o treści: Dana jest funkcja f(x) = x² − 3. Wykaż, że jeśli liczba naturalna n przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to liczba f(n) nie jest podzielna przez 4. Do tej pory zapisałem, że n = 4k + 3, gdzie k∊N. Czyli wstawiając za k pierwszą liczbę naturalną czyli 0, otrzymuję n = 3. Dalej wstawiam za k jedynkę i mam n = 7. Dalej mam n = 11 itd. Nie wiem czy prawidłowo można zacząć od n = 3. Następnie do wzoru funkcji f(x) = x² − 3 za x wstawiam n i otrzymuję f(n) = n² − 3. Za n wstawiam 4k + 3 i otrzymuję f(n) = (4k + 3)² − 3. Ze wzoru skróconego mnożenia mam f(n) = 16k² + 24k + 9 − 3 Dalej f(n) = 16k² + 24k + 6 Wyciągam wspólny czynnik przed nawias: f(n) = 2(8k² + 12k + 3) I to tyle, dalej się zaciąłem. Pozdrawiam

wredulus_pospolitus: f(n) = 16k² + 24k + 6 = 16k² + 24k + 4 + 2 = 4(4k² + 6k + 1) + 2 i teraz wyciągasz wniosek co do podzielności wyrażenia przez 4

wredulus_pospolitus: można też zrobić trochę inaczej: f(x) = x² − 3 = x² − 1 − 2 = (x−1)(x+1) − 2 f(k) = (4k+3−1)(4k+3+1) − 2 = (4k+2)*4*(k+1) − 2 i wyciągamy analogiczny wniosek

Jarek: Aha rzeczywiście, rozumiem. Czyli liczba f(n) nie jest podzielna przez 4, ponieważ w zapisie mam jeszcze tą resztę +2. I jeszcze ponawiam pytanie czy prawidłowo można zacząć od n = 3.

Jarek: Ten drugi sposób rzeczywiście sprytny. Dzięki