prawdopodobienstwo bom: czemu w zmiennej losowej ciaglej ∀x∊R , P(X = x) = 0

ABC: własności miary która dla zbioru jednopunktowego jest równa zeru

wredulus_pospolitus: To jest coś co jest na pierwszy rzut oka nielogiczne ... ale zastanów się chwilę nad tym. W zmiennej losowej ciągłej masz nieskończenie wiele liczb. Powiedzmy, że zmienna losowa ciągła przyjmuje wartości z przedziału (0,1) z jednakowym prawdopodobieństwem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wylosowana liczba 0.56784 Klasyczne podejście:

	|A|		1		1
P(A) =		=		= [		] = 0
	|Ω|		ile tutaj liczb mamy do wyboru hmmm		∞

Inny przykład: Rysuję na ziemi okrąg o promieniu 10 km. Jakie masz prawdopodobieństwo, że zaznaczysz pineską dokładnie środek okręgu? DOKŁADNIE, nie środek + 5 nanometrów na północny−wschód, tylko dokładnie środek okręgu. Oczywiście ... jest to niewykonalne. Możesz to wykonać z bardzo dużą dokładnością, powiedzmy do grubości pineski (a może nawet większą), ale nadal nie dasz sobie głowy uciąć, że jest to DOKŁADNIE środek tegoż okręgu. Jeszcze jeden przykład, tym razem z życia wzięty. To co prawda (tak naprawdę) nie jest zmienna losowa ciągła, ale jest jej niesamowicie blisko do bycia nią. Mówi się, że nie ma dwóch ludzi o takich samych liniach papilarnych. Pomimo, że występują one na skończonej powierzchni (palce), grubość linii jest w jakimś zakresie, a ich kształt jest podobny, to nadal −−− jak na razie nie znaleziono dwóch ludzi z takimi samymi liniami papilarnymi. Baaa − specjaliści tak naprawdę badają tylko (chyba) 11 charakterystycznych punktów − i mimo tego nie znaleziono. A taka ciekawostka −−− 20 lat temu po zamachu w Madrycie fałszywie (na podstawie odcisków palców) zidentyfikowano sprawcę. Okazało się jednak, że Ci co badali odciski palców poszli na łatwiznę i porównywali tylko 4 czy tam 6 punktów, podczas gdy powinno się sprawdzać właśnie coś koło 11.

Adamm: "To jest coś co jest na pierwszy rzut oka nielogiczne" nie tyle nielogiczne co nieintuicyjne, tak bym to opisał

Adamm: przynajmniej, może być nieintuicyjne dla kogoś kto zna tylko prawdopodobieństwo klasyczne Uzasadnienie formalne może być takie Zakładając że dystrybuanta była zdefiniowana jako F(a) = P(X≤a), mamy nierówność P(X = x) ≤ P(a < X ≤ x) = F(x)−F(a) dla każdego a < x. Z definicji, X jest ciągła gdy dystrubanta F jest funkcją ciągłą W szczególności, P(X − x) ≤ lim_a→x⁻ (F(x)−F(a)) = 0, czyli P(X = x) = 0.

Adamm: Warto podkreślić że jeśli P(X = x) to też na odwrót, zmienna losowa X jest ciągła. Jest tak ponieważ lim_a→x⁻ F(a) = P(X < x) przy czym granica lim_a→x⁻ F(a) zawsze istnieje. Z drugiej strony lim_a→x⁺ F(a) = F(x). Zatem F jest ciągła w punkcie x ⇔ P(X < x) = P(X ≤ x) ⇔ P(X = x) = 0