dystrybuanta ania: B. Dobierz stałe A i B tak, aby funkcja 𝐹(𝑥) = { 0 dla 𝑥 ≤ 0

	B
𝐴 −		dla x > 0
	1+x2

była dystrybuantą zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Wyznacz funkcję gęstości oraz obliczyć 𝑃(0,5 < 𝑋 < 1,5); 𝐹(0,5).

.: No dobrze. Nauczeni poprzednim zadaniem − − − jakie własności ma spełniać funkcja aby mogła uchodzić za dystrybuante zmiennej losowej o rozkładzie CIĄGŁYM

ania: F(0) = 0

	B
lim A −		= A − B
	1+x2

x−> 0 A−B = 0 A=B

	A(1+x2) − A
lim		= 1
	1+x2

x−>∞ B=1 A=1

ania: mysle o czyms tego typu

ania: chociaz nie bo ta granica w zerze sie chyba tyle nie rowna

ania: ale z lim x−>∞ F(x) mozna wywnioskowac ze a =1 tylko nie wiem co dalej

wredulus_pospolitus: jedna uwaga −> lim_x−>0⁺ F(x) = F(0) = 0 a poza tym ... wszystko jest ok.

wredulus_pospolitus:

	B
dobrze by było jeszcze sprawdzić, czy wtedy F(x) = A −		na zadanym przedziale
	1+x2

będzie niemalejąca

ania: ale jesli napisze lim x−> 0⁺ to moge zakladac ze to sie rowna 0 skoro zero zawiera sie w tym lewym przedziale?

wredulus_pospolitus: dlatego napisałem ... że granica prawostronna z F(x) ma się równać wartości F(0)

ania: a skad pewnosc ze ma rownac sie akurat F(0)

wredulus_pospolitus: bo dystrybuanta musi być CIĄGŁA A musi być ciągła ... bo ma być dystrybuantą zmiennej losowej CIĄGŁEJ pamiętasz link do stronki z poprzedniego zadana

ania: a bo ja mam napisane ze musi byc jedynie lewostronnie ciagla stad pytam

wredulus_pospolitus: ogólnie tak (a co zwracałem uwagę wczoraj) ... ale patrz jak tutaj są podane w klamerce przedziały. Znamy wartość F(0) ... jest ona równa 0

ania: czyli w skrocie z lim x−>∞ = A = 1 a z lim F(x) = A−B = F(0) = 0 x−>0⁺ A=B A=1 B=1 P(0.5 < x < 1.5) = f(1.5) − f(0.5) = 32/65 F(0.5) = 0.2 a to udowodnienie ze jest niemalejaca to na czym mialo by polegac? jakas pochodna?

wredulus_pospolitus: F(1.5) − F(0.5) a nie f(1.5) − f(0.5) możesz pochodną ... a możesz z definicji funkcji niemalejącej. Jak nie miałaś tego ... to po prostu warto napisać, że jest niemalejąca.