dystrybuanta 515: Zad.3. Wyznaczyć stałą a i b tak by dana funkcja była dystrybuantą zmiennej losowej X: 𝐹(𝑥) = {0 dla 𝑥 ≤ 𝑎 1/2 𝑥² −1/2 𝑥 dla 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 1 dla 𝑥 > 𝑏 wiem jedynie ze odpowiedz to a = 1 b = 2

wredulus_pospolitus: jakie warunki musi spełniać funkcja F(x) aby można było ją uznać za dystrybuantę DYSKRETNEJ zmiennej losowej

515: 0≤F(x)≤1 lim F(X) = 0 −∞ lim F(X) = 1 ∞ niemalejca i przynajmniej lewostronnie ciagla

515: takie znam

wredulus_pospolitus: mało widząc jak zapisana jest funkcja F(x) jeszcze mamy: F(b) − F(a) = 1

wredulus_pospolitus: a jako, że:

	x
F(x) =		(x−1) i patrzymy na Twoje warunki:
	2

I. skoro funkcja ma być niemalejąca, to: F(a) ≥ 0 −−−> a ≥ 1 F(b) ≤ 1 −−−> b ≤ 2

515: czemu F(b) − F(a) = 1?

wredulus_pospolitus: a teraz biorąc to co napisałem:

	1		1
F(b) − F(a) =		[ b2 − a2 − b + a ] =		(b−a)[(b+a) − 1] = 1
	2		2

(b−a)(b+a − 1) = 2 gdzie a<b oraz a,b ∊ [1;2]

wredulus_pospolitus: bo całka z gęstości musi być równa 1 ... a całka z gęstości będzie równa w tym przypadku F(b) − F(a)

wredulus_pospolitus: albo inaczej zapisując 2(F(b) − F(a)) = b² − b − a² + a = (b−1)² − (a−1)² + (b − a) = 2 i teraz: 1. 0 < b−1 ≤ 1 −−−> 0 < (b−1)² ≤ 1 2. 0 ≤ a−1 < 1 −−−> 0 ≤ (a−1)² < 1 3. więc 0 < (b−1)² − (a−1)² ≤ 1 (bo a<b) 4. natomiast 0 < b−a ≤ 1 więc jedyna możliwość zajścia tej równości będzie gdy: b−a = 1 oraz (b−1)² − (a−1)² = 1 stąd b = a+1 −−−> co daje nam, że jedyną możliwością jest a = 1 i b = 2