Dowody w geometrii Grzesiekk: Boki AB, BC i AC trójkąta ABC są proporcjonalne do boków A₁B₁, B₁C₁ i A₁C₁ trójkąta A₁B₁C₁. Symetralna boku AB przecina boki trójkąta ABC w punktach P i Q, a symetralna boku A₁B₁, przecina boki trójkąta A₁B₁C₁ odpowiednio w punktach P₁ i Q₁. Wykaż, że trójkąty APQ i A₁P₁Q₁ są podobne. (rozpatrz dwa przypadki)

wredulus_pospolitus: 1. Skoro boki są proporcjonalne to znaczy, że te trójkąty są PODOBNE 2. Skoro są podobne to mają odpowiadające sobie kąty (maja takie same kąty) wersja − Q leży na AC 3. Symetralna boku to inaczej prosta prostopadła, przecinająca bok w połowie. Związku z tym trójkąt APQ i A₁P₁Q₁ są trójkątami PROSTOKĄTNYMI o przyprostokątnych (AP i A₁P₁) proporcjonalnych (bo równych połowie AB i A₁B₁). 4. Zauważ, że te trójkąty mają równy kąt α przy wierzchołkach A oraz A₁. Jak również oba trójkąty mają kąt prosty przy P, P₁. 5. W efekcie − są to trójkąty podobne. wersja − Q leży na BC 3. Symetralna boku to inaczej prosta prostopadła, przecinająca bok w połowie. Związku z tym trójkąt BPQ i B₁P₁Q₁ są trójkątami PROSTOKĄTNYMI o przyprostokątnych (BP i B₁P₁) proporcjonalnych (bo równych połowie AB i A₁B₁). 4. Zauważ, że te trójkąty mają równy kąt β przy wierzchołkach B oraz B₁. Jak również oba trójkąty mają kąt prosty przy P, P₁. 5. W efekcie − są to trójkąty podobne. co za tym idzie −> |BQ| proporcjonalna do |B₁Q₁| (jak również |PQ| z |P₁Q₁|) 6. Spójrzmy teraz na trójkąty ABQ i A₁B₁Q₁. Wiemy, że |AB| proporcjonalne do |A₁B₁| oraz |BQ| proporcjonalna do |B₁Q₁| oraz mamy wspólny kąt β pomiędzy tymi bokami. więc trójkąty ABQ i A₁B₁Q₁ są podobne −−−> więc mamy proporcję |AQ| i |A₁Q₁| 7. patrząc na trójkąty APQ i A₁P₁Q₁ zauważmy, że pokazaliśmy już, że wszystkie te boki zachowują proporcję. Związku z tym są to trójkąty podobne.

Grzesiekk: Wielkie dzięki.