rozklad zmiennej austria: Zmienne losowe 𝑋1, 𝑋2, . .. są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem 𝜆 = 0,5. oraz gdzie zdefiniowano zmienną losową ₄ 𝑌₄ = Σ X_{i i=1} Obliczyć prawdopodobieństwo 𝑃(1 ≤ 𝑌₄ < 4); 𝑃(1 ≤ 𝑌₄ ≤ 4); 𝑃(1 < 𝑌₄ ≤ 4); P(1 < 𝑌₄ < 4); P(1,5 ≤ 𝑌₄ ≤ 2,5). nie wiem czemu ma byc wynik w po kolei 0,7218 0,8120 0,5413 0,4511 0,2707 a ja zrobilem dystrybuante (−∞;1> (1;2> (2:3> (3;4> (4;∞) 0,6065 0,9098 0,9856 0,9982 1 i wychodzi mi cos calkiem innego i nie wiem w czym rzecz

.: Wyjaśnij mi jak powstała ta dysteybuanta Y₄?!

austria: no znalazlaemm tabelke z wspolczynnikiem alfa i ta wartoscia k gdzie sa obliczone te wartosci rozkladu poissona i po kolei dodawalem dla odpowiednich k

.: Ale co dokładnie znalazłeś i co dokładnie dodawałeś?

austria: https://www.studocu.com/pl/document/politechnika-czestochowska/rachunek-prawdopodobienstwa-i-elementy-statystyki/rozklad-poissona-przydatne-i-wazne-wzory/8505105 no dla α=0.5 i po kolei suma dla k =0 potem k=0 + k=1 i potem k=0 +k=1 +k=2 i tak dalej az do sumy 1

.: Okey... I to jest dla jakiej zmiennej losowej?

austria: nie rozumiem

.: Coś policzyles/−as. Jakaś dystrybuante. I moje pytanie brzmi − jakiej zmiennej losowej to jest ta dystrybuanta. Masz 6 opcji do wyboru: X₁, X₂, X₃, X₄, Y₄, żadna z wymienionych (to jaka?)

austria: no tak intuicyjnie to zrobilam bo jak zobaczylam ze mam wyliczyc te nierownosci typu 𝑃(1 ≤ 𝑌4 < 4); to kojarzylo mi sie ze potrzebuje dystrybuante

.: I spoko, możesz to z dystrybuante zrobić, Ale trzeba ją policzyć dla właściwej zmiennej losowej czyli dla Y₄ = X₁ + X₂ + X₃ + X₄

austria: w sensie mam szukać dla innego parametru w tabelce α= 4*0.5?

.: Absolutnie. Uuuu... masz braki, cofnij się do podstaw. W przypadku tego zadania akurat wyznaczanie całej dystrybuante Y₄ jest kiepskim pomysłem (nie optymalnym) Łatwiej policzyć P(Y₄ = 1), P(Y₄ = 2), P(Y₄ = 3) i P(Y₄ = 4)

.: Znasz rozkład zmiennych losowych X_i, wiesz ze są niezależne, to łatwo możesz policzyć te prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y₄

austria: i jak policzyc P(Y₄ = 1)

austria: P(Y4 = 1) to bedzie po prostu x1?

austria: bo to jest suma? czy zle mowie

.: Nie, to bedzie X₁ + X₂ + X₃ + X4 = 1 Wiec dokoadnie jedna z nich równa 1 pozostałe równe 0. Pamiętaj że są to zmienne losowe niezależne (co mocno ułatwia obliczenia)

austria: no ale nie wiem jak to policzyć myślałam ze 4 𝑌4 = Σ Xi i=1 to ze to jest suma od 1 do 4 czyli X₁ + x₂ +x₃ + x₄ i to jest Y₄ tylko nic mi to nie daje nie wiem jak pozyskac chocby te dane do dystrybuanty aby policzyc 𝑃(1 ≤ 𝑌4 < 4);

.: P(Y₄ = 1) = P(X₁=1, X₂=0, X₃=0, X₄=0) + P(X₁=0, X₂=1, X₃=0, X₄=0) + + P(X₁=0, X₂=0, X₃=1, X₄=0) + P(X₁=0, X₂=0, X₃=0, X₄=1) = = 4*P(X₁=1, X₂=0, X₃=0, X₄=0) = 4*P(X₁=1)*P(X₂=0)*P(X₃=0)*P(X₄=0) =

	0.51*e−0.5		0,50*e−0.5
= 4*P(X1=1)*[ P(X2=0) ]3 = 4*		* [		] 3 = ...
	1!		0!

austria: a i co jesli mam P(Y₄ = 2) to musze rozpatrzyc wszystkie przypadki typu P(X1=1, X2=1, X3=0, X4=0) czy P(X1=2, X2=0, X3=0, X4=0)

.:

	4 2		4 1
Tak ... i przemnożyć przez (odpowiednio)		= 6 oraz		= 4 każdą z tych opcji

Dla Y₄ = 3 będziesz miała: 1,1,1,0 2,1,0,0 3,0,0,0 i permutacje każdego z tych Z jednej strony trochę liczenia, z drugiej strony − stosunkowo łatwego

.: Tak −−− oznaczało, że oba

.: Więc najlepiej sobie policzyć gdzieś 'z boku' P(X_i = 0) , P(X_i = 1) , P(X_i = 2) , P(X_i = 3) , P(X_i = 4) I odpowiednio podstawiać, tak aby za każdym razem tych ułamków nie wyliczać.

austria: czyli

	e−0.5 *0.5		e−0.5 *0.50
P(Y4 =2) = 6 P(X1 =1)2 P(x3 =0)2 = 6(		)2 (		)2
	1!		0!

.: To. Nie jest jedyna opcja. Jeszcze + 4P(X = 2)(P(X=0))³

austria: no czyli P(Y₄ =2) = 6 P(X₁ =1)² P(x₃ =0)² +4P(x₁ =2) P(x₂ =0)³

	e−0.5 *0.5		e−0.5 *0.50		e−0.5 *0.52
=6(		)2 (		)2 + 4(		) *
	1!		0!		2!

(U{e^−0.5{*0.5⁰}{0!})³

austria:

	e−0.5 *0.50
*(		)3 mialo byc na koncu
	0!

.: Da. I analogicznie pozostałe wartosci dla Y₄

austria: matko to roboty jak w kamieniołomie

austria: i to jest jedyna metoda na to?

.: Toc to policzenie pieciu wartości istotnych a później wstawienie ich do tych czterech zapisów. Inne, istnieją. Szybsze? Nie.

austria: tylko problemtyczne jest to szacowanie ile jest kombinacji bo jak to sie robilo z tym dwumianem zeby oszacowac np 1 3 0 0 na rozne kombinacje

wredulus_pospolitus: tak jak w liceum miałaś: ile różnych czterocyfrowych liczb możesz ułożyć z zestawu cyfr {2,2,3,6}. Tak i tutaj masz.

	4!
Możesz też skorzystać z: Permutacje z powtórzeniami, czyli:		w tym konkretnym
	1!*1!*2!

przypadku

	(wszystkie elementy)!
czyli
	(ile rodzaju A)!*(ile rodzaju B)!* ... itd.

wredulus_pospolitus: Jak widzisz ... mimo wszystko coś tam z tej szkoły średniej warto pamiętać

austria: dzieki

austria: a tak z ciekawosci kim sa ludzie pomagajacy na tym forum? Bo macie wiedze na kazdy temat i na wielu poziomach i robi to na mnie wrazenie ze potraficie praktycznie rozwiazac kazde zagadnienie

wredulus_pospolitus: Niektórzy są w zawodzie (najczęściej nauczyciel / wykładowca). Są pasjonaci. Są uczniowie / studenci, którzy są po prostu 'na bieżąco'. Są tacy, którzy są na bieżąco, bo mają 'szkraby' większe i mniejsze. Są też tacy, którzy po prostu byli nauczani w takich czasach, gdy tego materiału było o wiele wiele więcej i go pamiętają bo 'tłukli to niemiłosiernie' I to nie jest tak, że każdy z nas każde zagadnienie bez problemu rozwiąże. W niektórych przypadkach (mówię za siebie) nie znamy dokładnego twierdzenia, dowodu, teorii. Jednak wiemy gdzie jej szukać (kojarzymy co trzeba znaleźć) bądź kojarzymy jakąś teorię bliską temu zagadnieniu. Każdy z nas ma swoje dobre i słabe strony. U mnie piętą Achillesową jest geometria, natomiast te zadanka 'rozbijają' inni (gdy ja nie dam rady). Z drugiej strony są tacy, którzy gorzej czują się w prawdopodobieństwie, w którym ja się czuję jak 'ryba w wodzie'.