zadania z teorii liczb slon: 1) wykaz, ze 120 | x⁵ − x, dla każdego nieparzystego x

	n 3
2) znajdz wzsystkie liczby n takie, ze n |

3) wykaz, ze aⁿ − bⁿ = (a−b)(aⁿ⁻¹ + ... + bⁿ⁻¹) prosze o podpowiedzi

wredulus_pospolitus: (2k+1)⁵ − (2k+1) = (2k+1)[ (2k+1)⁴ − 1] = (2k+1){ [(2k+1)² − 1]*[(2k+1)² + 1] } = = (2k+1)(2k+1 − 1)(2k+1+1)[ (2k+1)² + 1] = (2k)(2k+1)(2k+2)*[ (2k+1)² + 1] i teraz ... a) jedna z trójki: 2k , 2k+1 , 2k+2 będzie podzielna przez 3 b) jedna z dwójki: 2k , 2k+2 będzie podzielna przez 4 (a druga przez 2) ... więc ich iloczyn podzielny przez 8 c) jeżeli żadna z trójki: 2k, 2k+1 , 2k+2 NIE JEST podzielna przez 5 ... to znaczy 2k+1 = 10m + 3 lub 10m − 3 zauważ, że (10m ±3)² + 1 = 100m² ± 60m + 9 + 1 = 10(10m² ± 6m + 1) <−−− więc wtedy (2k+1)² + 1 jest podzielna przez 5. 3*8*5 = 120 c.n.w.

slon: "to znaczy 2k+1 = 10m + 3 lub 10m − 3" czemu akurat 10m +− 3? dlaczego nie 5m +− 3? rownie dobrze mogloby byc 10m +− 7

wredulus_pospolitus: 10m + 7 = 10(m+1) − 10 + 7 = 10(m+1) − 3 10m − 7 = 10 (m−1) + 10 − 7 = 10(m−1) + 3 więc patrząc na reszty ... zapisanie 10m +7 bądź 10m − 3 znaczy dokładnie to samo tak samo 10m+3 bądź 10m − 7

wredulus_pospolitus: 5m+3 akurat nie może być .. bo: 1. 5m+3 NIE MUSI być liczbą nieparzystą 2. może być wtedy także 5m+2 w takim zapisie wtedy jeden z tych zapisów jest równy 2k+1 .... możesz tak zrobić ... na to samo wyjdzie.

Eta: Można też tak; L= x(x−1)(x+1)(x²+1) = x(x−1)(x+1)[(x²−4)+5] = x(x−1)(x+1) [(x−2)(x+2)+5) L=(x−2)(x−1)x(x+1)(x+2) +5x(x−1)(x+1) ============================== składnik (x−2)(x−1)x(x+1)(x+2) podzielna przez 5 i podzielna przez 6 więc podzielna przez 30 dla x= 2k+1 mamy dodatkowo podzielność przez 4 więc podzielna przez 120 składnik 5x(x−1)(x+1) podzielna przez 5 i 6 i dla x= 2k+1 podzielna przez 4 więc podzielna przez 120 to L podzielna przez 120 co kończy dowód

blug: okej dzieki a zadanie 2 i 3?

wredulus_pospolitus: 2.

	n 3		n(n−1)(n−2)
n |		=		⇔ 3 | (n−1) ∨ 3 | (n−2)
			2*3

pytanie bonusowe −−−> dlaczego nie interesuje mnie podzielność przez 2