teoria liczb myrtyn: Znaleźć wszystkie liczby naturalne ktore mają trzy różne dzielniki pierwsze i 12 dzielników naturalnych o sumie 744. Jak to zrobic poomocy

wredulus_pospolitus: mamy trzy różne dzielniki pierwsze: p,q,r więc dzielnikami także są 1, pq, pr, qr, pqr co daje nam 8 dzielników, brakuje 4 dzielników, więc musimy mieć także p² co daje nam jeszcze p²q, p²r oraz p²qr więc dzielniki to: 1, p , q , r , p² , pq , pr , qr , p²q , p²r , pqr , p²q 744 = 1 + q + r + qr + p(1 + q + r + qr) + p²(1 + q + r + qr) = (1 + q + r + qr)(1 + p + p²) 1+p+p² ≥ 1 + 2 + 4 = 7 1+q+r+qr ≥ 1 + 2 + 3 + 6 = 12 744 = 2³*3*31 więc mamy możliwe takie 'podziały' (nie wnikając na razie na ile są realne): 8 ; 93 12 ; 62 24 ; 31 i tyle .... i teraz: jeżeli było by to 8 ; 93, to musielibyśmy mieć 1+p+p² = 8 −−−> p² + p = 7 nierealne <−−− odpada z tego też wiemy, że p ≠ 2 ; więc 1 + p + p² będzie liczbą nieparzystą −−− stąd odpada druga możliwość I zostajemy z 24 ; 31 ... skoro 1 + p + p ² będzie liczbą nieparzystą, więc będzie = 31 stąd p = 5 natomiast: 1 + q + r + qr = (1+q)(1+r) = 24 = 3*8 = 6*4 = 12*2 3*8 da nam liczby pierwsze 2 i 7 jest ok 6*4 da nam liczby pierwsze 5 i 3 NIE JEST ok (bo '5' już mamy zajętą) 12*2 da nam liczby 'pierwsze' 11 i 1 NIE JEST ok (bo 1 nie jest liczbą pierwszą) więc jedyna możliwość to: 2,5,7 gdzie p = 5 co nam daje liczbę: 2*5²*7 = 350 i teraz sprawdzenie: będziemy mieli dzielniki: 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 25 + 35 + 50 + 70 + 175 + 350 = 744

wredulus_pospolitus: mam nadzieję, że wystarczająco klarownie wyjaśniłem mój tok rozumowania

myrtyn: Nie rozumiem tych nierówności z czego wynikają i dalej tych odrzucen i wnioskow o nieparzystości

myrtyn: Nierówności już rozumiem

wredulus_pospolitus: to jak rozumiesz nierówności, to wiemy z nich że rozkładając liczbę 744 na dwa czynniki, musimy mieć zapewnione że oba są nie mniejsze niż 7. stąd rozkład 4 ; 186 jest niemożliwy do spełnienia, bo żaden z tych nawiasów nie może przyjąć tak małej wartości. Dlatego startujemy od 8 ; 93 i później tworzymy kolejne poprzez 'zwiększenie' pierwszej wartości (zmniejszając tym samym drugą)

wredulus_pospolitus: jedyna liczba pierwsza parzysta to '2' ... dla p=2 mamy 1+p+p² = 7 ... skoro takiej wartości nie możemy uzyskać, to znaczy, że p będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Skoro p jest nieparzyste to także p² jest nieparzyste. W takim razie 1 + p + p² jako suma trzech nieparzystych liczb, także będzie liczbą nieparzystą

myrtyn: Dziękuję już wszystko rozumiem. Dobrej nocy