teoria liczb
myrtyn: Znaleźć wszystkie liczby naturalne ktore mają trzy różne dzielniki pierwsze i 12 dzielników
naturalnych o sumie 744.
Jak to zrobic poomocy
14 mar 23:37
wredulus_pospolitus:
mamy trzy różne dzielniki pierwsze: p,q,r
więc dzielnikami także są 1, pq, pr, qr, pqr
co daje nam 8 dzielników, brakuje 4 dzielników, więc musimy mieć także p
2 co daje nam jeszcze
p
2q, p
2r oraz p
2qr
więc dzielniki to: 1, p , q , r , p
2 , pq , pr , qr , p
2q , p
2r , pqr , p
2q
744 = 1 + q + r + qr + p(1 + q + r + qr) + p
2(1 + q + r + qr) = (1 + q + r + qr)(1 + p + p
2)
1+p+p
2 ≥ 1 + 2 + 4 = 7
1+q+r+qr ≥ 1 + 2 + 3 + 6 = 12
744 = 2
3*3*31 więc mamy możliwe takie 'podziały' (nie wnikając na razie na ile są realne):
8 ; 93
12 ; 62
24 ; 31
i tyle .... i teraz:
jeżeli było by to 8 ; 93, to musielibyśmy mieć 1+p+p
2 = 8 −−−> p
2 + p = 7 nierealne <−−−
odpada
z tego też wiemy, że p ≠ 2 ; więc 1 + p + p
2 będzie liczbą nieparzystą
![](emots/2/wykrzyknik.gif)
−−− stąd odpada
druga możliwość
I zostajemy z 24 ; 31 ... skoro 1 + p + p
2 będzie liczbą nieparzystą, więc będzie = 31
stąd p = 5
natomiast: 1 + q + r + qr = (1+q)(1+r) = 24 = 3*8 = 6*4 = 12*2
3*8 da nam liczby pierwsze 2 i 7 jest ok
6*4 da nam liczby pierwsze 5 i 3 NIE JEST ok (bo '5' już mamy zajętą)
12*2 da nam liczby 'pierwsze' 11 i 1 NIE JEST ok (bo 1 nie jest liczbą pierwszą)
więc jedyna możliwość to: 2,5,7 gdzie p = 5
co nam daje liczbę: 2*5
2*7 = 350
i teraz sprawdzenie:
będziemy mieli dzielniki: 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 25 + 35 + 50 + 70 + 175 + 350 = 744
14 mar 23:56
wredulus_pospolitus:
mam nadzieję, że wystarczająco klarownie wyjaśniłem mój tok rozumowania
14 mar 23:59
myrtyn: Nie rozumiem tych nierówności z czego wynikają i dalej tych odrzucen i wnioskow o
nieparzystości
15 mar 00:18
myrtyn: Nierówności już rozumiem
15 mar 00:20
wredulus_pospolitus:
to jak rozumiesz nierówności, to wiemy z nich że rozkładając liczbę 744 na dwa czynniki, musimy
mieć zapewnione że oba są nie mniejsze niż 7.
stąd rozkład 4 ; 186 jest niemożliwy do spełnienia, bo żaden z tych nawiasów nie może przyjąć
tak małej wartości.
Dlatego startujemy od 8 ; 93 i później tworzymy kolejne poprzez 'zwiększenie' pierwszej
wartości (zmniejszając tym samym drugą)
15 mar 00:36
wredulus_pospolitus:
jedyna liczba pierwsza parzysta to '2' ... dla p=2 mamy 1+p+p2 = 7 ... skoro takiej wartości
nie możemy uzyskać, to znaczy, że p będzie liczbą pierwszą nieparzystą.
Skoro p jest nieparzyste to także p2 jest nieparzyste.
W takim razie 1 + p + p2 jako suma trzech nieparzystych liczb, także będzie liczbą nieparzystą
15 mar 00:38
myrtyn: Dziękuję już wszystko rozumiem. Dobrej nocy
15 mar 00:58