Proszę o wytłumaczenie tego sposobu rozkładu wielomianu na czynniki.
Monika: Proszę o wytłumaczenie tego sposobu rozkładu wielomianu na czynniki,
w którym potem wyłączamy trójmian.
Jak wpaść na ten rozkład składników?
w(x) = x3+3x2−x−10
w(x) = x3 +3x2 +5x −2x2 −6x −10
w(x) = x(x2+3x+5) − 2(x2+3x−+5)
w(x) = (x2+3x−+5)(x−2)
11 mar 13:55
ite:
?
Pierwsza i ostatnia postać nie są sobie równe.
W drugim przekształceniu jest błąd.
11 mar 14:10
Monika: Faktycznie, przecież z 3x2 −2x2 nie wyjdzie 3x2.
Ite, a znasz ten sposób? Jak to rozpisywać?
11 mar 15:45
Monika: To ja napisałam źle, miał to być ten rozkład:
w(x) = x3+x2−x−10
w(x) = x3 +3x2 +5x −2x2 −6x −10
w(x) = x(x2+3x+5) − 2(x2+3x−+5)
w(x) = (x2+3x−+5)(x−2)
11 mar 16:09
wredulus_pospolitus:
jasne ... grupowanie ... tylko tam nie żadne −+5 tylko po prostu +5
11 mar 17:14
Monika: Wredulus, mnie właśnie chodzi o wytłumaczenie, jak się dochodzi do takiego trójmianu.
12 mar 13:46
kerajs:
Nie robi się tego, lecz szuka pierwiastka wymiernego. Tym jest x=2 , co daje (x−2)*( .....) .
12 mar 14:20
Monika: Kerajs, z szukaniem pierwiastka, to wiem. Ale ten powyższy sposób też jest, tylko nie wiem, jak
on działa, że działa
12 mar 14:44
kerajs:
To nie sposób, lecz sztuczka. I zwykle nie działa (jak widać powyżej). Odradzam.
12 mar 14:57
Mariusz:
Równie dobrze można napisać że szykanie pierwiastków wymiernych zwykle nie działa
(Liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele , niewymiernych jest więcej)
Ponadto wyraz wolny oraz współczynnik wiodący mogą mieć tyle dzielników że
ich sprawdzanie może zająć więcej czasu niż rozwiązanie równania metodą
działającą na każde równanie trzeciego stopnia i dającą się uogólnić na równania czwartego
stopnia
x
3+3x
2−x−10
(x
3+3x
2+3x+1) − 4(x+1)=x
3+3x
2−x−3
(x+1)
3 − 4(x+1) − 7 = x
3 + 3x
2 − x − 10
y
3 − 4y − 7 = 0
Tutaj proponuję przyjąć że
y = u+v
(u+v)
3 − 4(u+v) − 7 = 0
u
3+3u
2v+3uv
2+v
3 −4(u+v)−7 = 0
u
3+v
3 − 7 + 3uv(u+v) −4(u+v) = 0
| | 4 | |
u3+v3 − 7 + 3(u+v)(uv − |
| ) = 0 |
| | 3 | |
Równanie będzie spełnione gdy spełniony będzie układ równań
u
3+v
3 − 7 = 0
u
3+v
3 = 7
| | 4 | |
W równaniu 3(u+v)(uv − |
| ) = 0 mamy iloczyn |
| | 3 | |
Będzie on równy zero gdy co najmniej jeden z czynników będzie równy zero
jednak przyjęliśmy że y = u+v , więc przyrównanie u+v do zera spowodowałoby przyjęcie że y=0
Przyrównujemy zatem do zera ten drugi czynnik
u
3+v
3 = 7
u
3+v
3 = 7
Zauważmy że powyższy układ równań można łatwo przekształcić we wzory Vieta
dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u
3 oraz v
3
u
3+v
3 = 7
przy czym pierwiastki trzeciego stopnia
należy tak dobrać aby był spełniony układ równań
u
3+v
3 = 7
a szczególnie równanie
Dlaczego wykonujemy to sprawdzenie ?
Otóż przekształcenie dzięki któremu otrzymaliśmy wzory Vieta nie było równoważne
i otrzymaliśmy pierwiastki obce
u
3+v
3 = 7
Ten układ równań jest spełniony przez wszystkie 9 możliwych par (u,v)
u
3+v
3 = 7
Natomiast ten układ równań jest spełniony tylko przez trzy pary (u,v)
y=u+v
| | 1 | |
y= |
| (3√756+12√3201 + 3√756−12√3201) |
| | 6 | |
| | 1 | |
x+1 = |
| (3√756+12√3201 + 3√756−12√3201) |
| | 6 | |
| | 1 | |
x = −1 + |
| (3√756+12√3201 + 3√756−12√3201) |
| | 6 | |
| | 1 | |
x = |
| (−6+3√756+12√3201 + 3√756−12√3201) |
| | 6 | |
Równanie y
3 − 4y − 7 = 0
można też rozwiązać nieco inaczej
y
3 − 4y − 7 = 0|*z
3
y
3z
3 − 4yz
3 − 7z
3 = 0
(yz)
3 − 4(yz)z
2 − 7z
3 = 0
Mamy zatem
| | 4 | | 4 | |
(− |
| − z2)3−4z2(− |
| − z2)−7z3 = 0 |
| | 3 | | 3 | |
| | 64 | | 16 | | 4 | |
−( |
| + |
| z2+4z4+z6)+4z2( |
| + z2) −7z3 = 0 |
| | 27 | | 3 | | 3 | |
| 64 | | 16 | | 16 | |
| − |
| z2 − 4z4 − z6 + |
| z2 + 4z4 −7z3 = 0 |
| 27 | | 3 | | 3 | |
t = z
3 i dostaniemy równanie kwadratowe
Metoda ta ma jednak pewne ograniczenia więc wolę tą którą przedstawiłem wcześniej
13 mar 14:38