Całkowite miejsca zerowe Co: Wyznacz wszystkie wartości wymierne parametru a, dla którego funkcja f(x) =ax² + (a+1)x + a − 1 ma dwa różne miejsca całkowite. Wiem, że a≠0 i policzę deltę, żeby były dwa rozwiązania, ale co dalej czynić nie wiem

wredulus_pospolitus: Na jakim poziomie nauczania jest to zadanie? Czy jest to zadanie 'dodatkowe'

chichi: co to są miejsca całkowite?

Co: sorka, wkradł się błąd *miejsca zerowe całkowite

Co: Jest to zadanie z konkursu dla drugich klas liceum

wredulus_pospolitus: no to w takim razie proponuję najpierw rozwiązać dużo łatwiejszą formę tego zadania −−−> niech a ∊ Z (a należy do całkowitych)

Co: Nadal nie umiem, nawet nie wiem co mi to zmienia tak szczerze...

Co: To oryginalne chciałam z Viete'y ze iloczyn tych miejsc i suma są całkowite, ale to jest za mało warunków jednak

wredulus_pospolitus: zastanów się kiedy wielomian kwadratowy MOŻE (ale nie musi) mieć dwa pierwiastki całkowite

Co: W tym tkwi mój problem hahaha Nie wiem, delta co się ładnie pierwiastkuje i −b+/−√Δ podzielne przez 2a to jedyne co przychodzi mi do głowy

wredulus_pospolitus: f(x) = ax² + bx + c może (ale nie musi) mieć dwa całkowite miejsca zerowe gdy ....

	c
....		jest liczbą całkowitą
	a

wredulus_pospolitus: sprawdź ten warunek i zobacz jak mocno ograniczy Ci możliwe wartości parametru 'a'. Następnie zastanów się jak to się zmieni gdy a będzie wymierne (czyli niekoniecznie całkowite)

Co: To wtedy ^c_a=1−¹_a ∊Z, czyli a = 1 lub −1 A z sumy miejsc zerowych (^−b_a) wyjdzie to samo.

Co: Dla a=1 miejsca zerowe będą całkowite, a dla a=−1 nie będą istniały.

Co: Jeśli nie są całkowite to a mogłoby być np. 1/7 albo 1/968

Co: Co w tym miejscu zrobić?

wredulus_pospolitus: 23:06 −−−> dlatego olałem warunek z −b/a należy do całkowitych

wredulus_pospolitus: więc dla 'a' wymiernych masz, że ta funkcja MOŻE mieć dwa miejsca zerowe x₁,x₂ ∊ Z

	1
gdy a =		; gdzie n ∊ Z
	n

i dalej kombinuj ... nie chcę Ci dać gotowca, ponieważ nie wiem czy to nie jest z aktualnego konkursu bądź czy nie jest to zadanie na np. 'szóstkę'. Jeżeli tak jest, to musisz 'zapracować' na to ... a jeżeli chcesz się przygotować do konkursu ... to tym bardziej powinieneś to dokończyć samodzielnie.

wredulus_pospolitus: miało być : n ∊ Z \ {0}

Co: Nie jest to do szkoły czy obecny konkurs, ale rozumiem Twoją decyzję. Bardzo dziękuję za wszystkie wskazówki, pokombinuję jeszcze i dam znać czy coś z tego wyszło

wredulus_pospolitus: jeżeli będziesz miał już odpowiedź ... to napisz ... przynajmniej Ci powiem czy mi wyszło to samo

ABC: to jest Podkarpacki Konkurs Matematyczny dla Ponadgimnazjalnych z 2015 roku , wredulus możesz rozwiązywać śmiało

.: Nadal poczekam aż autor sam się pomęczy. W sumie trochę zaskoczyło mnie to zadanie. Wydaje mi się trochę zbyt ambitne jak na zadanie regionalnego szczebla. Ale nie z drugiej strony − nie jestem obeznany w poziomach jakie są obecnie na konkursach.

ABC: Autor wątku , a sprawdzałeś co się da wycisnąć z tego że różnica pierwiastków musi być liczbą całkowitą? Tam trochę kultury matematycznej, rozpisać , oznaczyć , warunki konieczne i powinno pójść O ile dobrze liczę w pamięci to po drodze będzie problem kiedy 12+p² jest kwadratem liczby całkowitej dla p całkowitego ale to chyba szablon w twoim zasięgu?

wredulus_pospolitus: @ABC ja poszedłem bardziej 'toporną' drogą wyznaczyłem x₁, x₂ w zależności od parametru który wiem, że jest liczbą całkowitą i sprawdziłem kiedy ów x₁, x₂ całkowite ... co dało mi warunki co do ów parametru co dało mi wartości parametru 'a'

Co: ABC, chyba coś popsułam bo wyszło mi, n² + 6n − 3 ∊Z (n∊Z), a nie to co mówisz

Co: To znaczy pierwiastek z tego wyrażenia ∊Z, przepraszam za pomyłkę

Franek z fabryki szklanek: to chyba jest równoważne bo n²+6n+9−12 =(n+3)²−12 , zależy który pierwiastek odjęłąś od którego

Co: O dziękuję bardzo, na to nie wpadłam

jc: ax²+(a+1)x+(a−1)=0 a ≠ 0 b = 1/a x²+(1+b)x+(1−b)=0 1+b jest liczbą całkowitą bo suma rozwiązań jest liczbą całkowitą. x¹+x+1=b(1−x)

	x2+x+1		3
b=		=−x−2−
	x−1		x−1

x−1=−1, 1, 3, −3 co daje x=−2, 0, 2, 4 i dalej b= 1, −7 w pierwszym przypadku mamy x²+2x=0, x=0 lub x=−2 w drugim przypadku mamy x²−6x+8=0, x=2, 4 zatem a=1 lub a=−1/7