kwadrat matura: Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 3. Punkty K i L leżą na prostych odpowiednio AB i BC tak,że |BK|=2√3 i |BL|=2 Odcinek KL przecina przekątną BD w punkcie M Wykaz,że | MD|=√6

wredulus_pospolitus:

	1
PΔKBL =		*2*2√3 = 2√3
	2

	1		1
PΔKBL = PΔKBO + PΔLBO =		2*c +		2√3*c = c(1 + √3)
	2		2

	2√3
stąd: c =		= √3(√3−1) = 3 − √3
	√3+1

stąd: b = (3−√3)*√2 = 3√2 − √6 |BD| = a + b −−−> 3√2 = a + (3√2 − √6) −−−> a = √6 c.n.w.

Eta: Z treści zadania wynika,że ΔKBL jest "ekierkowy"o kątach 30^o,60^o,90^o to |KL|=4

	m		2√3
z tw. odwusiecznej w ΔKBL		=		= √3 to m= n√3
	n		2

m+n=4 ⇒ n=(√3+1)=4 ⇒ n= 2(√3−1) z tw. sinusów w ΔBLM

	x		n
		=
	sin60o		sin45o

	n√6
x=
	2

x= 3√2−√6 i |BD|=3√2 to |MD|= |BD|−x |MD|=√6 ========== c.n.w.

wredulus_pospolitus: faktycznie |KB| > |AB| więc mój rysunek do poprawy ... jednak samo rozwiązanie pozostaje bez zmian

Eta:

wredulus_pospolitus: swoją drogą ... ciekawe czy gdyby to zadanie było na maturze, to obcięliby punkt za nieprawidłowy rysunek

wredulus_pospolitus: ale wtedy 'na dokładkę' trzeci sposób podam ΔKAP podobny do ΔKBL (podobieństwo kkk) lub z tw. Talesa.

|AP|		2
	=		oraz wiemy, że |AK| = 2√3 − 3
|AK|		2√3

	2√3−3
|AP| =		= 2 − √3
	√3

stąd |DP| = x = 3 − (2 − √3) = 1 + √3 ΔLBM (zielony trójkąt) podobny do ΔPDM (podobieństwo kkk)

a		b		2		2
	=		−−> b = a*		= a*		= a(√3−1)
x		2		x		√3+1

a wiemy, że |BD| = 3√2 = a + b −−−> 3√2 = a + a(√3−1) = a√3

	3√2
więc: a =		= √6
	√3

Mila: |KB|=2√3>3 1) |DB|=3√2 |DM|=√6 ? ========== 2)

	ab√2
d=
	a+b

=========== − długość odcinka dwusiecznej kąta prostego w Δ prostokątnym o przyprostokątnych a i b

	2√3*2*√2
|BM|=		=3√2−√6
	2√3+2

|MD|=√6