wredulus_pospolitus:
fajne zadanko.
Więc:
1. Zauważamy, że w ciągu 10 kolejnych liczb naturalnych mamy dokładnie 5 liczb nieparzystych.
2. Tylko liczby nieparzyste (i to nie wszystkie) będą koloru białego.
3. Związku z tym wiemy, że 0 ≤ k ≤ 5.
4. k > 0 szybko można wykazać (patrz − podzielność przez 5)
5. k = 1 łatwo pokazać (4x pierwsze + liczba 9)
6. k = 2 łatwo pokazać (3x pierwsze + liczby 9 i 13)
7. k = 3 konsekwentnie (2x pierwsze + liczby 21, 25, 27)
8. k = 4 tutaj trochę dalej musimy poszukać i mamy np. zestaw od 91 do 100 zawiera jedynie
jedną liczbę pierwszą (97)
9. pozostaje kwestia rozwiązania niewiadomej ... czy gdzieś istnieje taka sytuacja, że
wszystkie pięć liczb nieparzystych będzie złożona.
Załóżmy, że istnieje taki zestaw liczb. że liczby nieparzyste postaci: x − 4, x−2, x, x+2, x+4
wszystkie będą liczbami złożonymi.
Zauważmy, że liczba n będzie liczbą złożoną, jeżeli będzie miała dzielnik nie większy niż
√n
√991 > 31 związku z tym każda ów liczb nieparzystych musi być podzielna przez co najmniej
jedną z liczb pierwszych:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.
W najlepszym przypadku, dwie z nich są podzielne przez 3, inna przez 5, inna przez 7, inna
przez 11.
Wiemy więc, że ten zestaw pięciu liczb nieparzystych musi zawierać liczby nie mniejsze niż 113
(ponieważ 113 = 121 − 8 = 11
2 − 8). Więc nie ma sensu szukać ich w pierwszej setce.
I tutaj od razu możemy spróbować wziąć ów 121, zauważmy że 123 jest podzielne przez 3,
natomiast 125 przez 5,
skoro 123 podzielne przez 3, to także będzie 123−6 = 117 jak również 123+6 = 129. więc mamy już
zestaw 4 (z 5) liczb nieparzystych złożonych. Dodatkowo, żadna z tych liczb NIE JEST podzielna
przez 7.
Pozostaje kwestia czy któraś z liczb 119 bądź 127 będzie podzielna przez 7 ... i okazuje się,
że 119 = 7*17.
Tak więc, mamy także k=5.
Na dokładkę −−− aby wkurzyć układającego zadanie −−− jakiego koloru jest liczb 2? Czerwonego
czy też niebieskiego
