Oblicz granicę ciągu an = 1/(3n+1) + 1/(3n +2) + ... + 1/(3n + n) analiza: Oblicz granicę ciągu an = 1/(3n+1) + 1/(3n +2) + ... + 1/(3n + n) Spróbowałem to zrobić z tw. o 3 ciągach i wychodzi mi ograniczenie z góry 1/3 i z dołu 1/4. Czy to znaczy, że granicą będzie (skoro ciąg jest rosnący) ograniczenie górne czyli 1/3?

.:

	1
To źle ograniczenie z dołu. Zamiast zamieniać wszystkie ułamki na		, po prostu
	3n+n

pierwszy ulamek zostaw beż zmian, a resztę zamień na 0. I już gotowe masz ograniczenie z dołu dla wyrazu a_n

.: Dobra. Głupotę tutaj napisałem przecież to jeszcze gorsze ograniczenie jest

ABC: do autora zadania: możesz korzystać ze stałej Eulera γ jako granicy odpowiedniego ciągu?

chichi:

	dx
g = 0∫1		= ln(4/3)
	3 + x

ABC: a metodami studenta 1 semestru 1 roku ? moim zdaniem trzeba przejść w sposób jawny lub ukryty przez dowód istnienia lim_n→∞(1+1/2+1/3+...+1/n −ln(n)) =γ

analiza: @ABC nie miałem tego, zgadza się, pierwszy semestr. Czyli 1/3 nie jest tutaj granicą? Na pewno ogranicza z góry, ale granica jest inna?

jc: Wydaje się, że chichi podał najprostsze rozwiązanie.

ABC: @analiza granica jest taka jak podał chichi, ale elementarny dowód jest trochę upierdliwy , zawieruszył mi się wstęp do analizy mikusińskiego więc go nie odtworzę z głowy teraz

chichi: @ABC oczywiście, że można bazując na wiedzy z analizy studenta 1 roku, ale w nieco dłuższy sposób niż przedstawiłem

Mariusz: jc: Wydaje się, że chichi podał najprostsze rozwiązanie. A to nie jest tak że aby policzyć całkę podaną przez chichiego potrzebujemy granicy którą chcemy policzyć dowodząc wcześniej że dla każdego ciągu podziałów odcinka [0;1] te granice istnieją i są sobie równe Czyli wychodzi coś podobnego co przy regule szpitala (Tam dość często do policzenia pochodnej dość często potrzebujemy granicy którą chcemy policzyć)

Mariusz: Jeśli chodzi o ograniczanie to może takie coś ?

1		1		1		1		1		1
	+		+ ... +		≥		+		+ ... +
3n+1		3n +2		3n + n		4n		16n		4nn

	1		1
Tylko czy granica limn→∞∑n=1∞		*(		)n
	n		4

będzie łatwiejsza do policzenia ? Poza tym zostaje jeszcze jedno oszacowanie

jc: Mariusz, można tak: (1+1/k)^k < e < (1+1/k)^k+1 przykładamy logarytm 1 / (k+1) < ln (k+1) − ln k < 1 / k lewą nierówność sumujemy od k=3n do k=4n−1 a prawą od k=3n +1 do k=4n ln (4n+1) − ln(3n+1) < 1/(3n+1) + 1/(3n+2) + ... + 1/(4n) < ln (4n) − ln(3n) ln [(4n+1)/(3n+1) ] < suma < ln 4/3 wynik oczywisty = ln 4/3

Mariusz: I chyba taki pomysł będzie dobry Co z pomysłem ABC z 7 lut 2024 17:49 dałoby się go wykorzystać jako alternatywne rozwiązanie ?

chichi: dokladnie taki sposob mialem na mysli, tylko to szacowanie chcialem pokazac naturalnie jako konsekwencje twierdzenia Lagrange'a