rozwiązanie szczególne (rekurencja) piotr: Rozważmy równanie rekurencyjne niejednorodne (1) a(n) − 3a(n−1) + 2a(n−2) = 2n−1 z warunkami początkowymi a0 = 5, a1 = 12. Równanie jednorodne skojarzone z równaniem (1) ma postać (2) a(n) − 3a(n−1) + 2a(n−2) = 0 Wielomianem charakterystycznym równania (2) jest W(x) = x² − 3x + 2. Pierwiastkami (jednokrotnymi) tego wielomianu są liczby 1 i 2. Rozwiązaniem ogólnym (2) jest zatem an = c1 · 2ⁿ + c2 dla dowolnych c1, c2 ∈ C. Rozwiązanie szczególne (1) przewidujemy w postaci an = B · n · 2ⁿ dla pewnego B ∈ C. Aby wyznaczyć współczynnik B, wstawiamy przewidywaną postać rozwiązania do równania (1): B · n · 2ⁿ − 3 · B · (n − 1) · 2⁽n−1) + 2 · B · (n − 2) · 2⁽n−2) = 2⁽n−1) Po podzieleniu obu stron powyższego równania przez 2n−1 otrzymujemy 2Bn − 3B(n − 1) + B(n − 2) = 1 i w konsekwencji B = 1. Wobec tego rozwiązaniem ogólnym (1) jest an = c1 · 2ⁿ + c2 + n · 2ⁿ dla dowolnych c1, c2 ∈ C. Aby uzyskać rozwiązanie spełniające zadane warunki początkowe, wyliczamy współczynniki c1 i c2 z warunków początkowych: a0 = 5 a1 = 12 ⇔ c1 + c2 = 5 2c1 + c2 + 2 = 12 ⇔ c1 = 5 c2 = 0 . Stąd rozwiązaniem (1) z warunkami początkowymi a0 = 5, a1 = 12 jest a(n) = (n + 5) · 2ⁿ. Wszystko fajnie tylko nie rozumiem skąd się wzieło an = B · n · 2ⁿ, które przewidujemy jako rozwiązanie szczególne. Czy mógłby mi ktoś to wytłumaczyć?

kerajs: W tym równaniu przewidywane rozwiązanie szczególne ma postać An²+Bn. Byłoby An+B, ale uzyskane w rozwiązaniu ogólnym C₂ wzmacnia przewidywanie do n(An+B) Możliwe że równanie miało postać: a(n) − 3a(n−1) + 2a(n−2) = 2ⁿ−1 a wtedy przewidujemy rozwiązanie szczególne na: An2ⁿ+Bn., gdyż rozwiązanie ogólne wzmocniło przewidywanie: 1) z A2ⁿ na An2ⁿ , ze względu na C₁2ⁿ w rozwiązaniu ogólnym 2) z B na nB , ze względu na C₂ w rozwiązaniu ogólnym

piotr: niestety, wciąż nie za bardzo rozumiem chodzi mi o rozumowanie, które doprowadziło do przewidzenia rozw. szczególnego w tej postaci an = B · n · 2ⁿ

kerajs: Skąd mogę wiedzieć dlaczego ktoś błędnie przewiduje a(n)_s=Bn2ⁿ ? A może równanie miało postać: a(n) − 3a(n−1) + 2a(n−2) = 2ⁿ⁻¹ i wtedy takie przewidywanie wreszcie byłoby poprawnym

Mariusz: piotr może najpierw pobaw się funkcją tworzącą a(n) − 3a(n−1) + 2a(n−2) = 2n−1 z warunkami początkowymi a0 = 5, a1 = 12. A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞(a_n−3a_n−1+2a_n−2)xⁿ = ∑_n=2^∞(2n−1)xⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ − 3(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ)+2(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ)= ∑_n=0^∞(2n−1)xⁿ−(−1+x) ∑_n=2^∞a_nxⁿ − 3x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+2x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²)= ∑_n=0^∞(2n−1)xⁿ−(−1+x) ∑_n=2^∞a_nxⁿ − 3x(∑_n=1^∞a_nxⁿ)+2x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)= ∑_n=0^∞(2n+2)xⁿ−3(∑_n=0^∞xⁿ)+1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn) =		(		)
dx		dx		1−x

	1
∑n=0∞nxn−1 = −		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1 =
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn =
	(1−x)2

∑_n=0^∞a_nxⁿ−5−12x − 3x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−5)+2x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)=

2		1
	−3		+1−x
(1−x)2		1−x

∑_n=0^∞a_nxⁿ −3x(∑_n=0^∞a_nxⁿ)+2x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)−5+3x =

2		1
	−3		+1−x
(1−x)2		1−x

	2		1
(1−3x+2x2)A(x) = 6−4x+		−3
	(1−x)2		1−x

	6−4x		−1+3x
A(x) =		+
	(1−3x+2x2)		(1−x)2(1−3x+2x2)

	6−4x		−1+3x
A(x) =		+
	(1−3x+2x2)		(1−x)2(1−3x+2x2)

	6−4x		−1+3x
A(x) =		+
	(1−x)(1−2x)		(1−x)2(1−3x+2x2)

(1−x)−(1−2x)=x 2(1−x)−(1−2x) = 1 6−4x = 12(1−x)−6(1−2x)−4(1−x)+4(1−2x) 6−4x = 8(1−x)−2(1−2x)

	8		2		−1+3x
A(x) =		−		+
	1−2x		1−x		(1−x)3(1−2x)

A		B		C		D
	+		+		+
1−x		(1−x)2		(1−x)3		1−2x

A(1−x)²(1−2x)+B(1−x)(1−2x)+C(1−2x)+D(1−x)³=−1+3x A(1−2x+x²)(1−2x)+B(1−3x+2x²)+C(1−2x)+D(1−3x+3x²−x³) = −1+3x A(1−2x+x² − 2x+4x²−2x³)+B(1−3x+2x²)+C(1−2x)+D(1−3x+3x²−x³) = −1+3x A(1 − 4x + 5x² − 2x³) + B(1−3x+2x²)+C(1−2x)+D(1−3x+3x²−x³) = −1+3x A +B +C+D = −1 −4A−3B−2C−3D = 3 5A +2B +3D = 0 −2A −D = 0 D = −2A −A+B+C = −1 2A−3B−2C = 3 −A+2B = 0 D = −2A A = 2B −B+C = −1 B−2C = 3 D = −2A A = 2B C = −2 B = −1 A = −2 B=−1 C=−2 D = 4

8

2

2

1

2

4

A(x) =

−

−

−

−

+

1−2x

1−x

1−x

(1−x)2

(1−x)3

(1−2x)

	12		4		1		2
A(x) =		−		−		−
	1−2x		1−x		(1−x)2		(1−x)3

d		d		1
	(∑n=0∞xn) =		(		)
dx		dx		1−x

	1
∑n=0∞nxn−1 = −		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1 =
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn =
	(1−x)2

d		d		1
	(∑n=0∞(n+1)xn) =		(		)
dx		dx		(1−x)2

	−2
∑n=0∞n(n+1)xn−1 =		(−1)
	(1−x)3

	2
∑n=1∞n(n+1)xn−1 =
	(1−x)3

	2
∑n=0∞(n+1)(n+2)xn =
	(1−x)3

A(x) = 12(∑_n=0^∞2ⁿxⁿ)−4(∑_n=0^∞xⁿ)−(∑_n=0^∞(n+1)xⁿ) −(∑_n=0^∞(n+1)(n+2)xⁿ) A(x) = ∑_n=0^∞(12*2ⁿ − (4+(n+1)+(n+1)(n+2)))xⁿ A(x) = ∑_n=0^∞(12*2ⁿ − (n²+4n+7)xⁿ a_n = 12*2ⁿ − (n²+4n+7) Jeżeli masz narzuconą metodę to ci tej nie uznają ale przeanalizowanie tej metody pozwoli ci wywnioskować co i dlaczego należy przewidywać