macierz pszyniak: log₂ (x) 1 arcsin(x−3) 1 1 0 arcsin(x−3) 0 0 taka macierz pytanie dla jakiego x jest zawsze dodatnio okreslona jest symetryczna wiec chcialem twierdzeniem sylwestra −> wszystkie miniory dodtanie 1) log₂ (x) > 0 dla x> 1 2) log₂ (x) > 1 dla x >2 3) −arcsin(x−3)² no i to jest tak ulozona funkcja ze nigdy nie jest wieksza od zera i czy to znaczy ze nie tedy droga i kryterium sylvestra mi tego nie powie i trzeba jakos to inaczej robic?

kerajs: Skoro element a₃,3 nie jest dodatni, to jak macierz może być dodatnio określona?

pszyniak: a czemu akurat a₃,3 musi byc dodatni? Bo ja znam albo wnioskowanie tym sylvestrem albo wartosciami wlasnymi

kerajs: Wobec tego z twierdzenia Sylwestera pokażę, że elementy diagonali głównej muszą być dodatnie aby ta macierz miała szanse być dodatnio określoną. Dla macierzy [ x a b ] A= [ a y c ] [ b c z ] biorę kolejne minory wiodące a) det [x] >0 ⇒ x>0 b) [ x a ]

	a2
det [ a y ] > 0 ⇒ yx>a2 ⇒ y>		>0
	x

c) det (A) = z(xy−a²)+2abc−xc²−yb²=z(xy−a²)+sgn(abc) 2|a||b||c| −xc²−yb² Jeśli znak iloczynu abc nie jest dodatni , to przy niedodatnim z−ecie ten wyznacznik nie będzie dodatni, więc i macierz dodatnio określona. Gdy znak iloczynu abc jest dodatni , to det (A) = z(xy−a²)+2|a||b||c| −xc²−yb² ≤ z(xy−a²)+2√xy|b||c| −xc²−yb²= =z(xy−a²)−(√x|c|−√y|b|)² Także w tym przypadku, przy niedodatnim z−ecie ten wyznacznik nie będzie dodatni, więc i macierz dodatnio określona. Ergo: Warunkiem koniecznym dodatniej określoności macierzy jest tu dodatniość elementów na diagonali głównej.