topologia krystian: Niech X będzie zbiorem nieskończonym i niech β={A⊂X: X\A jest skończony}∪{∅}. Pokazać, że β jest topologią na X, która nie jest przestrzenią Hausdorffa. Umiem pokazać, że β jest topologią, natomiast mam problem z pokazaniem, że nie jest przestrzenią Hausdorffa, czy mógłby ktoś pomóc?

wredulus_pospolitus: Pytanie (dla mnie przypominające) −−− jaki jest związek pomiędzy przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenią zwartą Bo można wykazać, że β nie jest zwarta ... czy to daje Ci to co chcesz −−− to już pytanie do Ciebie.

krystian: Zamysł wiem jaki jest, że należy wziąć dwa różne punkty i pokazać, że ich otoczenia są rozłączne, czyli że ich przekrój jest pusty, tylko nie wiem jak to zbytnio zrobić.

wredulus_pospolitus: Ale ja zadałem Ci pytanie ... postaraj się na to pytanie odpowiedzieć.

krystian: Przestrzeń jest zwarta, gdy jest Hausdorffa i z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone. Mam pokazać brak Hausdorffowości co implikuje brak zwartości, ale Hausdorffowość jest jednym z warunków zwartości, więc wracam do punktu wyjścia.

ABC: masz pokazać że istnieją dwa punkty tej przestrzeni których nie dasz rady oddzielić od siebie otoczeniami otwartymi , znalazłeś już kandydatów?

wredulus_pospolitus: Krystian ... warunkiem przestrzeni zwartej jest "dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone" taki jest JEDYNY warunek na zwartość. I możemy pokazać, że to właśnie nie zachodzi ... pytanie czy przestrzeń niezwarta może być przestrzenią Hausdorffa.

krystian: Na wikipedii piszą "W niektórych źródłach (np. Engelking 1989 ↓) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa", pod tym linkiem również jest tak w definicji https://www2.im.uj.edu.pl/LeszekPieniazek/DU/TOP/test-6.html#autosec-231 ABC niestety nie widzę takich kandydatów, mógłbyś ich podać?

ABC: jprld chłopie prawa de Morgana i suma dwóch zbiorów skończonych jest skończona , udowodnij że dowolne przecięcie zbiorów otwartych w tej topologii ma nieskończenie wiele elementów podpuchę ci dałem, dowolne dwa różne punkty będą dobre , tu interweniuje nieskończoność całej przestrzeni bo dla skończonych przestrzeni można pokazać że każda T1 jest Hausdorffa

krystian: Gdyby było to dla mnie takie oczywiste, to bym o to nie pytał.

wredulus_pospolitus: @ABC ... pytanie tak dla mnie −−− czyli skoro nie jest zwarta to nie jest Hausdorffa

ABC: wredulus , jeśli o to chodzi , to autor wątku słusznie zauważył że są różne definicje zwartości mnie uczono dawno temu :"Przestrzeń topologiczna nazywa się zwartą, gdy jest Hausdorffa i z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone." Natomiast taka że tylko " z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone" to była quasi−zwarta.

krystian: Wymyśliłem, aby zrobić to nie wprost. Załóżmy, że X jest przestrzenią Hausdorffa, wówczas znajdziemy x,y∊X takie, że U_x∩U_y=∅. Mamy równość X=X\(U_x∩U_y)=(X\U_x)∪(X\U_y). X\U_x, X\U_y − zbiory skończone, suma zbiorów skończonych jest skończona, co jest sprzeczne z nieskończonością zbioru X, zatem X nie jest przestrzenią Hausdorffa.

wredulus_pospolitus: @krystian −−− czy Ty czytasz co ABC pisze

krystian: To powiedz proszę gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

Adamm: Częściej się nie używa słowa quasi−zwarta i po prostu mówi zwarta i zwarta Hausdorffa

Adamm: Ja też tak robię Tutaj topologia jest zwarta, ale nie ma to związku z byciem przestrzenią Hausdorff'a No chociaż można z tego skorzystać − dowolny nieskończony podzbiór jest zwarty Ale zbiory zwarte w przestrzeni Hausdorff'a są domknięte

Adamm: @ABC nie każda przestrzeń T₁ jest Hausdorff'a Powyższa przestrzeń jest T₁, zwarta, ale nie Hausdorff'a

. : Adam − ABC napisał o skończonych przestrzeniach, że jeżeli są T₁ to są T₂

Adamm: A okej źle zrozumiałem No i dodam komentarz że kwazi−zwarta się stosuje raczej w takich dziedzinach jak geometria algebrsiczna gdzie te rozróżnienie jest ważne. W każdej innej matematyce przestrzenie i tak będą Hausdorffa. Dla Engelkinga to założenie ma sens bo pisze on książkę

krystian: Odpowiesz wredulus_pospolitus?