topologia
krystian: Niech X będzie zbiorem nieskończonym i niech β={A⊂X: X\A jest skończony}∪{∅}. Pokazać, że β
jest topologią na X, która nie jest przestrzenią Hausdorffa.
Umiem pokazać, że β jest topologią, natomiast mam problem z pokazaniem, że nie jest
przestrzenią Hausdorffa, czy mógłby ktoś pomóc?
21 sty 16:15
wredulus_pospolitus:
Pytanie (dla mnie przypominające) −−− jaki jest związek pomiędzy przestrzenią Hausdorffa, a
przestrzenią zwartą
![](emots/2/pytajnik.gif)
Bo można wykazać, że β nie jest zwarta ... czy to daje Ci to co chcesz −−− to już pytanie do
Ciebie.
21 sty 17:03
krystian: Zamysł wiem jaki jest, że należy wziąć dwa różne punkty i pokazać, że ich otoczenia są
rozłączne, czyli że ich przekrój jest pusty, tylko nie wiem jak to zbytnio zrobić.
21 sty 19:29
wredulus_pospolitus:
Ale ja zadałem Ci pytanie ... postaraj się na to pytanie odpowiedzieć.
21 sty 19:36
krystian: Przestrzeń jest zwarta, gdy jest Hausdorffa i z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać
podpokrycie skończone. Mam pokazać brak Hausdorffowości co implikuje brak zwartości, ale
Hausdorffowość jest jednym z warunków zwartości, więc wracam do punktu wyjścia.
21 sty 20:01
ABC:
masz pokazać że istnieją dwa punkty tej przestrzeni których nie dasz rady oddzielić od siebie
otoczeniami otwartymi , znalazłeś już kandydatów?
21 sty 20:28
wredulus_pospolitus:
Krystian ... warunkiem przestrzeni zwartej jest "dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi
można wybrać podpokrycie skończone"
taki jest JEDYNY warunek na zwartość.
I możemy pokazać, że to właśnie nie zachodzi ... pytanie czy przestrzeń niezwarta może być
przestrzenią Hausdorffa.
21 sty 20:33
21 sty 20:38
ABC:
jprld chłopie prawa de Morgana i suma dwóch zbiorów skończonych jest skończona , udowodnij że
dowolne przecięcie zbiorów otwartych w tej topologii ma nieskończenie wiele elementów
podpuchę ci dałem, dowolne dwa różne punkty będą dobre
![emotka](emots/1/wesoly.gif)
, tu interweniuje nieskończoność
całej przestrzeni
bo dla skończonych przestrzeni można pokazać że każda T1 jest Hausdorffa
21 sty 20:44
krystian: Gdyby było to dla mnie takie oczywiste, to bym o to nie pytał.
21 sty 21:59
wredulus_pospolitus:
@ABC ... pytanie tak dla mnie −−− czyli skoro nie jest zwarta to nie jest Hausdorffa
21 sty 22:33
ABC:
wredulus , jeśli o to chodzi , to autor wątku słusznie zauważył że są różne definicje zwartości
mnie uczono dawno temu :"Przestrzeń topologiczna nazywa się zwartą, gdy jest Hausdorffa i z
każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie skończone."
Natomiast taka że tylko " z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie
skończone" to była quasi−zwarta.
21 sty 22:42
krystian: Wymyśliłem, aby zrobić to nie wprost. Załóżmy, że X jest przestrzenią Hausdorffa, wówczas
znajdziemy x,y∊X takie, że Ux∩Uy=∅. Mamy równość X=X\(Ux∩Uy)=(X\Ux)∪(X\Uy).
X\Ux, X\Uy − zbiory skończone, suma zbiorów skończonych jest skończona, co jest sprzeczne z
nieskończonością zbioru X, zatem X nie jest przestrzenią Hausdorffa.
21 sty 23:57
wredulus_pospolitus:
@krystian −−− czy Ty czytasz co ABC pisze
22 sty 00:51
krystian: To powiedz proszę gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?
22 sty 11:15
Adamm:
Częściej się nie używa słowa quasi−zwarta i po prostu mówi zwarta i zwarta Hausdorffa
22 sty 16:22
Adamm: Ja też tak robię
Tutaj topologia jest zwarta, ale nie ma to związku z byciem przestrzenią Hausdorff'a
No chociaż można z tego skorzystać − dowolny nieskończony podzbiór jest zwarty
Ale zbiory zwarte w przestrzeni Hausdorff'a są domknięte
22 sty 16:25
Adamm:
@ABC nie każda przestrzeń T1 jest Hausdorff'a
Powyższa przestrzeń jest T1, zwarta, ale nie Hausdorff'a
22 sty 16:27
. :
Adam − ABC napisał o skończonych przestrzeniach, że jeżeli są T1 to są T2
22 sty 16:30
Adamm: A okej źle zrozumiałem
No i dodam komentarz że kwazi−zwarta się stosuje raczej w takich dziedzinach jak geometria
algebrsiczna gdzie te rozróżnienie jest ważne. W każdej innej matematyce przestrzenie i tak
będą Hausdorffa. Dla Engelkinga to założenie ma sens bo pisze on książkę
22 sty 16:40
krystian: Odpowiesz wreduluspospolitus?
25 sty 12:26