wartosci wlasme bartolomeolo: wyznacz macierz A ktorej wartosci wlasne to 1 i 4 a zwiazane z nimi wektory wlasne to [3 1]^T [2 1]^T Jak to zrobic bez diagonalizajic macierzy?

Maciess: Diagonalizacja jest postaci PDP⁻¹. Znając wartości własne 1 i 4 możesz utworzyć macierz D. Znając wektory własne możesz stworzyć macierz P. Doliczasz P⁻¹. Wymnażasz i masz A.

bartolomeolo: tak zdaje sobie sprawe ale ciekawi mnie jak to zrobic jak zaznaczylem bez diagonalizacji. Bo znam ja ale zadanie zostalo podane jeszcze przed wprowadzeniem pojecia diagonalizacji

Maciess: To z definicji wartosci własnych.

	a b c d
A =

Układ:

	3 1		3 1
A		= 1 *

	2 1		3 1
A		= 4 *

4 niewiadome, 4 równania.

Maciess: typo przy kopiowaniu, tam ten ostatni wektor wlasny ma byc [2,1]^T

.: jak rozumiem może być wiele macierzy A w zależności czy przyjmiemy A = M_f (B_k) czy inną bazą niż kanoniczna?

.: bo macierz P przejścia akurat można tak sobie wstawić wektory własne jeśli zakładamy przejścia z bazy kanonicznej

.: chyba że to równanie wyjdzie zawsze nieoznaczone robiąc z "definicji" właśnie?

Maciess: Jak nieoznaczone? Powinno wyjść oznaczone. Jakas baza jest tam wybrana a my dostaliśmy wektory własne zapisane w tej bazie i tyle nas tutaj interesuje.

jc:

	3 1		3 1		2 1		2 1
A		=		, A		=4

lub krócej

	3 2 1 1		3 2 1 1	1 0 0 4
A		=

stąd

	3 2 1 1	1 0 0 4	3 2 1 1		−7 22 −3 10
A=				−1 =

.: no ale jeśli robimy macierze przejścia to nie znamy bazy z której zapisujemy macierz przejścia

.: w bazie kanonicznej przepisujemy te macierze transponowane na kolumny, ale gdybyśmy mieli w jakiejś innej bazie to macierz przejścia wygląda zupełnie inaczej

.: więc zakładasz że jest to baza kanoniczna jeśli chcesz tak o wpisać że macierz ta to jest w kolumnach kolejno P_Bk −> _B = [3₁ 2₁]

.: możesz przyjąć dowolną inną bazę i macierz przejścia jest inna

Maciess: Zdefiniuj co nazywasz macierzą przejścia.

.: Robiąc z A = PDP−¹ skąd wiesz jaka jest baza

.: No macierz przejścia z bazy B1 do B2 to współrzędne B2 w bazie B1 na kolumnach od góry do dołu taka jest definicja

jc:

	3 1		2 1
A w jakiej bazie zapisałeś wektory		i		?

W tej samej bazie piszesz macierz.

.: Chyba że P nie jest tutaj macierzą przejścia?

Maciess: Nie mam pojecia jaka jest baza. Wiem tylko jak wyglądają wektory własne, bo mi je podali. Wiem ze jest jakas baza (e₁, e₂) w które przestrzeń własna dla lambda = 1 daje sie zapisac jako Lin{t * (3*e₁ + e₂) : t ∊R}. Macierz A jest wyznaczona jednoznacznie.

.: No pod warunkiem że macierz A powstała z wartości f(wektorów kolejnych z bazy kanonicznej

.: To robiąc ze wzoru PDP−¹ skąd wiemy jakie jest P?

Maciess: P możemy interpretować jako macierz przejścia. Ale my nie od tego wyszliśmy. Niezaleznie jakie wektory bazowe sobie wybierzemy to mówimy o jednym i tym samym p.liniowym. Zmieniamy baze tak, aby wektory bazowe pochodził z przestrzeni własnej, wtedy przeksztrałcenie ma tam ładną postać (diagonalną). No i takich przejść jest wiele (nieskonczenie). Do 19:19 weź sobie dowolne krotności tych wektorów podanych w zadaniu. Przekonaj sie ze jak skonstruujesz z nich macierz P to finalnie zawsze otrzymasz taką samą macierz A.

.: Czyli to jest macierz przejścia czy nie bo już nie kumam

.: Na wykładzie dla macierzy P braliśmy przejście z bazy Bk bo wiedzieliśmy że A to M_f(Bk) Więc zapisaliśmy po prostu te wektory generujące Lin od buta tak samo w macierzy bo baza była kanoniczna ale robiąc macierz przejścia z czego innego nie dostaniemy innej macierzy A?

.: Wy po prostu zakładacie że to jest baza kanoniczna tak to przecież Mf(B) dowolnego B jest zawsze inna

.: Wiem chyba co mówił doktor na wykładzie i jaka jest definicja, wydaje mi się że mam rację zależy nad jaką bazą jest odwzorowanie

Maciess: Nie będę ukrywał, że jestem jakiś autorytetem − jestem tylko studentem. Ale jeszcze raz podsumuje. Czyli to jest macierz przejścia czy nie bo już nie kumam Samo P w diagonalizacji interpetujemy jako macierz przejścia. Jednak tutaj nie korzystamy wprost ze wiemy cokolwiek o diagonalizacji. Korzystamy z definicji wartosci i wektorow własnych. Przeczytaj jeszcze raz moje i jc post. Na wykładzie dla macierzy P braliśmy przejście z bazy Bk bo wiedzieliśmy że A to Mf(Bk) Więc zapisaliśmy po prostu te wektory generujące Lin od buta tak samo w macierzy bo baza była kanoniczna ale robiąc macierz przejścia z czego innego nie dostaniemy innej macierzy A? Ale zapodałeś nawijke, nic nie skumałem. Wy po prostu zakładacie że to jest baza kanoniczna tak to przecież Mf(B) dowolnego B jest zawsze inna Nikt tak nie zakłada, mój post 19:15. Wiem chyba co mówił doktor na wykładzie i jaka jest definicja, wydaje mi się że mam rację zależy nad jaką bazą jest odwzorowanie No zakładamy ze nad jakąś jest i w tej samej dostajemy A. Jak bredze to ktoś niech mnie sprostuje, raczej mocnym teoretykiem nie jestem. Moze @Adam, @chichi albo reszta coś dołożą do dyskusji.

jc: Jak ustalimy bazę w przestrzeni n−wymiarowej nad R, to mamy izomorfizm z przestrzenią Rⁿ. baza: f₁, f₂, f₃, wektor v=a₁ f₁ +a₂ f₂+a₃ f₃ → (a₁,a₂,a₃) Zamieszanie wprowadzają nauczyciele, którzy mówią o macierzy w bazach, natomiast nie mówią o współrzędnych wektora w bazie.

jc: Jeszcze inaczej. s = v*t t = czas, s − droga, v − prędkość t = 3, s = 12, v=4, a teraz ktoś spyta, w jakich jednostkach? oczywiście jeśli zmienimy jednostki, to zmieni się wartość v, ale też zmienią się wartości t i s. Dokładnie tak samo jest z macierzami i wektorami.

.: No dobrze ale w poście 18:15 macierz P to są właśnie współrzędne tych wektorów w bazie kanonicznej, kuźwa

.: trzeba czasami bardziej kompetentych osób poszukać bo nie każdy ma wiedzę w danym temacie

.: na logikę, dla jednych wektorów własnych i wartości własnych możesz mieć nieskończenie wiele macierzy A w zależności nad jaką bazu, ale endomorfizm to jest jeden i ten sam kropka

.: może po prostu tego nie braliście

.: jest to poprawne, ale nie jest to jedyna macierz A, chyba że podano A = M_f(B), gdzie B − baza standardowa

.: Av = λ * v, v współrzędne w bazie B

jc:

	3 1		2 1
W bazie		,		, wektory

3 1		2 1
	,		zapiszą się jako wektory

1 0		0 1		1 0 0 4
	,		, a macierz jako macierz		.

Nie zawracaj sobie głowy słowem baza.

	x y		ax+by cx+dy
Chodzi o to, że przekształcenie F		=

	a b c d
Możesz zakodować w postaci macierzy

	a b c d	x y		ax+by cx+dy
i umówić się, że			=

Czy tu się coś mówi o bazie? A pewnie widziałeś mnożenie macierzy? to właśnie to.

bartolomeo: ło matko bosko co tu sie stalo

bartolomeo: ale dyskusja