całki .: Wykaż 1 ≤ ₀¹ ∫(1+x⁴)^(1/4) dx ≤ √1.2

jc: 1 ≤ (1+x⁴)^1/4, stąd lewa nierówność ∫₀¹ f(x) dx ≤ [∫₀¹ f(x)² dx ]^1/2 ≤ [∫₀¹ f(x)⁴ dx ]^1/4, co w przypadku naszej całki daje górne ograniczenie 1.2^1/4

.: No nie górne ograniczę to (1.2)^½ a nie ¼

jc: 1.2^1/4 < 1.2^1/2, więc jeśli 1.2^1/4 jest górnym ograniczeniem , to 1.2^1/2 też jest.

.: skąd mamy pewność że to szacowanie jest poprawne? tzn że ta ¹₂ nie powinna być też pod całką tylko można wyciągnąć nad?

.: po pierwszym znaku ≤ dla całki oznaczonej

jc: Nierówność Shwarza: ∫_a^b f(x) g (x) dx ≤ [ ∫_a^b f(x)² dx ]^1/2 [ ∫_a^b g(x)² dx ]^1/2 U nas a=0, b=1, g(x)=1, f(x)=(1+x⁴)^1/4 ∫₀¹ (1+x⁴)^1/4 dx ≤ [ ∫₀¹ (1+x⁴)^1/2 dx ]^1/2 [ ∫₀¹ 1 dx ]^1/2 czyli ∫₀¹ (1+x⁴)^1/4 dx ≤ [ ∫₀¹ (1+x⁴)^1/2 dx ]^1/2 jeszcze raz stosujemy nierówność ∫₀¹ (1+x⁴)^1/2 dx ≤ [ ∫₀¹ (1+x⁴) dx ]^1/2 = 1.2^1/2 wstawiasz do poprzedniej nierówności i masz ∫₀¹ (1+x⁴)^1/4 dx ≤ 1.2^1/4 Faktycznie mamy nierówność < , funkcje 1 i (1+x⁴)^1/4 nie są proporcjonalne.