dowod z topologii krystian: Jeżeli T_d jest topologią generowaną przez metrykę dyskretną, to każdy ciąg zbieżny w T_d jest prawie stały.

wredulus_pospolitus: 1. Czy wiesz co to jest metryka dyskretna ? 2. Czy pamiętasz warunek Cauchy'ego na zbieżność ciągu go granicy 'g' Skorzystaj z obu aby wykazać, że każdy zbieżny ciąg w tejże metryce jest prawie stały.

krystian: Tak wiem, mógłbyś jakoś rozpisać początek?

krystian: Znalazłem rozwiązanie na jakiejś stronie angielskiej, ale nie rozumiem dlaczego biorą epsilon równy 1/2 skoro mamy pokazać dla każdego espilon > 0?

Adamm: Nieee... bierzesz ciąg który jest zbieżny możesz sobie dać epsilon jaki chcesz

Adamm: tutaj chodzi o to że dla metryki dyskretnej d(x, y) < 1/2 ⇔ x = y

Adamm: nie pokazujesz że ciąg prawie stały jest zbieżny, tylko na odwrót

Adamm: @wredulus Warunek Cauchy'ego nie jest tutaj pomocny

krystian: Niech (x_n) będzie ciągiem zbieżnym w T_d, wtedy istnieją takie m,n>N, że d(x_m,x_n)<ε. Weźmy ε=1/2, to bedzie d(x_m,x_n)<1/2, no ale z definicji metryki dyskretnej mamy, ze to zachodzi wtedy gdy x_m=x_n, dla m,n>N więc (x_n) jest stały od pewnego miejsca, jako iż był on wybrany dowolnie, to każdy ciąg w tej topologii generowanej przez metryke dyskretną jest prawie stały c.k.d. Czy to jest dobrze Adamm? Dziękuję za komentarz.

Franek z fabryki szklanek: zamotałeś trochę , trzeba było wprowadzić granicę g do dowodu i pokazać że od pewnego miejsca wszystkie wyrazy są równe g kolejność kwantyfikatorów też masz nieopanowaną , najpierw stoi "dla każdego epsilon" więc zaczynasz od epsilona

krystian: Czy mógłbyś pokazać jak wyglądałby poprawnie według Ciebie dowód?